«11C» 15. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 15. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

Untersuche f$f$ auf Symmetrie, Monotonie für x \geq 0$x\ge 0$ und Beschränktheit (Wertemenge)!

f(x) = \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|};$f\left(x\right)=\frac{4+\left|x\right|}{2+\left|x\right|};$

Symmetrie

f(-x) = \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|} = f(x);$f\left(-x\right)=\frac{4+\left|x\right|}{2+\left|x\right|}=f\left(x\right);$ ⇒ Symmetrie zur y$y$-Achse

Monotonie

{} x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \\ {} \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) = \frac{4+x_2}{2+x_2} - \frac{4+x_1}{2+x_1} {} = \frac{8 + 4x_1 + 2x_2 + x_1x_2 - 8 - 4x_2 - 2x_1 - x_1x_2}{\mathrm{HN}} = {} \frac{\left(x_1 - x_2\right) \left(4 - 2\right)}{\mathrm{HN}} < 0;$x_1,x_2\ge 0;x_1<x_2;\Rightarrow f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{4+x_2}{2+x_2}-\frac{4+x_1}{2+x_1}=\frac{8+4x_1+2x_2+x_1{x}_2-8-4x_2-2x_1-x_1{x}_2}{\text{HN}}=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(4-2\right)}{\text{HN}}<0;$

⇒ smf für x \geq 0;$x\ge 0;$

Beschränktheit

{} \begin{array}{rcl|l} {} y &=& \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|} & \cdot \left(...\right) \\ {} 2y + \left|x\right|y &=& 4 + \left|x\right| & -\left|x\right| -2y \\ {} \left|x\right| \left(y - 1\right) &=& 4 - 2y & : \left(...\right) \\ {} \left|x\right| &=& \frac{4 - 2y}{y - 1} {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill y& \hfill =\hfill & \frac{4+\left|x\right|}{2+\left|x\right|}\hfill & \cdot \left(...\right)\hfill \\ \hfill 2y+\left|x\right|y& \hfill =\hfill & 4+\left|x\right|\hfill & -\left|x\right|-2y\hfill \\ \hfill \left|x\right|\left(y-1\right)& \hfill =\hfill & 4-2y\hfill & :\left(...\right)\hfill \\ \hfill \left|x\right|& \hfill =\hfill & \frac{4-2y}{y-1}\hfill \end{array}$

{} \Longrightarrow y \neq 1;$\Rightarrow y\ne 1;$

{} \begin{array}{rcl|l} {} \frac{4 - 2y}{y - 1} &\geq& 0 & \cdot \left(...\right) \\ {} 4 - 2y &\geq& 0 & +2x :2 \\ {} 2 &\geq& y {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill \frac{4-2y}{y-1}& \hfill \ge \hfill & 0\hfill & \cdot \left(...\right)\hfill \\ \hfill 4-2y& \hfill \ge \hfill & 0\hfill & +2x:2\hfill \\ \hfill 2& \hfill \ge \hfill & y\hfill \end{array}$

{} \Longrightarrow \begin{cases} {} y \geq 1 \text{ und } y \leq 2 & \text{oder} \\ {} y \leq 1 \text{ und } y \geq 2; {} \end{cases}$\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc}y\ge 1\text{ und }y\le 2\hfill & \text{oder}\hfill \\ y\le 1\text{ und }y\ge 2;\hfill \end{array}\right.$

{} \Longrightarrow \mathds{W} = \left] 1; 2 \right];$\Rightarrow W=\left]1;2\right];$