«11C» 2. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 2. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Zettel, Aufgabe 52

h_t\left(x\right) = -tx + t; t \in \mathds{R}; \mathds{D}_{h_t} = \mathds{R};$h_t\left(x\right)=-tx+t;t\in R;D_{h_t}=R;$

a)

Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben.

{} \begin{array}{rcl} {} -tx + t & = & 0 \\ {} t \cdot \left(1-x\right) & = & 0 \\ {} 1 - x & = & 0 \\ {} 1 & = & x {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill -tx+t& \hfill =\hfill & 0\hfill \\ \hfill t\cdot \left(1-x\right)& \hfill =\hfill & 0\hfill \\ \hfill 1-x& \hfill =\hfill & 0\hfill \\ \hfill 1& \hfill =\hfill & x\hfill \end{array}$

⇒ N\left(1; 0\right)$N\left(1;0\right)$

b)

Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y$y$-Achse und zwei zueinander senkrechten Schargeraden begrenzt ist.

{} l_t\left(x\right) = \frac{1}{t}x - \frac{1}{t}; \\ {} \begin{array}{rl} {} \Longrightarrow A\left(t\right) {} = & \frac{1}{2} \cdot \left| h_t\left(0\right) - l_t\left(0\right) \right| {} \cdot 1 = \\ {} = & \frac{1}{2} \cdot \left|t + \frac{1}{t}\right| = \left|\frac{t^2 + 1}{2t}\right|; {} \end{array}$l_t\left(x\right)=\frac{1}{t}x-\frac{1}{t};\begin{array}{cc}\hfill \Rightarrow A\left(t\right)=& \frac{1}{2}\cdot \left|h_t\left(0\right)-l_t\left(0\right)\right|\cdot 1=\hfill \\ \hfill =& \frac{1}{2}\cdot \left|t+\frac{1}{t}\right|=\left|\frac{t^2+1}{2t}\right|;\hfill \end{array}$

c)

Für welches t$t$ schließt die Schargerade mit der y$y$-Achse einen Winkel von 30^\circ$30^{\circ }$ ein?

{} \begin{array}{rcl} {} m_{h_t} & = & \tan \frac{\pi}{3} \\ {} -t & = & \tan \frac{\pi}{3} \\ {} t & = & -\tan \frac{\pi}{3} \\ {} t & = & -\sqrt{3} {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill m_{h_t}& \hfill =\hfill & tan\frac{\pi }{3}\hfill \\ \hfill -t& \hfill =\hfill & tan\frac{\pi }{3}\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & -tan\frac{\pi }{3}\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & -\sqrt{3}\hfill \end{array}$