«11C» 3. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 3. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Zettel, Aufgabe 58

{} f_t\left(x\right) = tx + 2\sqrt{t^2 + 1}; {} \mathds{D}_{f_t} = \mathds{R}; {} t \in \mathds{R};$f_t\left(x\right)=tx+2\sqrt{t^2+1};D_{f_t}=R;t\in R;$

a)

Für welches t$t$ ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten? Zeichne den Graphen!

{} \begin{array}{rcl} {} tx & = & x \\ {} t & = & 1 {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill tx& \hfill =\hfill & x\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & 1\hfill \end{array}$

b)

Für welches t$t$ ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung y = 2x + 333$y=2x+333$?

{} \begin{array}{rcl} {} tx & = & -\frac{1}{2}x \\ {} t & = & -\frac{1}{2} {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill tx& \hfill =\hfill & -\frac{1}{2}x\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & -\frac{1}{2}\hfill \end{array}$

c)

Welche Graphen der Schar schließen mit der x$x$-Achse einen Winkel von 60^\circ$60^{\circ }$ ein?

{} \begin{array}{rcl} {} tx & = & \tan \frac{\pi}{3} \cdot x \\ {} t & = & \sqrt{3} \text{ sowie } -\sqrt{3} {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill tx& \hfill =\hfill & tan\frac{\pi }{3}\cdot x\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & \sqrt{3}\text{ sowie }-\sqrt{3}\hfill \end{array}$

⇒ f_{\pm \sqrt{3}}\left(x\right) = \pm\sqrt{3}x + 4;$f_{\pm \sqrt{3}}\left(x\right)=\pm \sqrt{3}x+4;$

d)

Bei welchen t$t$-Werten sind die Nullstellen vom Ursprung 2\sqrt{2}$2\sqrt{2}$ entfernt?

d = \pm 2\sqrt{2}$d=\pm 2\sqrt{2}$

{} \begin{array}{rcl} {} 0 & = & td + 2\sqrt{t^2 + 1} \\ {} -td & = & 2\sqrt{t^2 + 1} \\ {} t^2d^2 & = & 4t^2 + 4 \\ {} t^2\left(d^2 - 4\right) & = & 4 \\ {} t^2 & = & \frac{4}{d^2 - 4} \\ {} t & = & 2 \frac{\sqrt{d^2-4}}{d^2-4} \\ {} t & = & \pm 1 {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill 0& \hfill =\hfill & td+2\sqrt{t^2+1}\hfill \\ \hfill -td& \hfill =\hfill & 2\sqrt{t^2+1}\hfill \\ \hfill t^2{d}^2& \hfill =\hfill & 4t^2+4\hfill \\ \hfill t^2\left(d^2-4\right)& \hfill =\hfill & 4\hfill \\ \hfill t^2& \hfill =\hfill & \frac{4}{d^2-4}\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & 2\frac{\sqrt{d^2-4}}{d^2-4}\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & \pm 1\hfill \end{array}$

e)

Welche Stellen der x$x$-Achse sind keine Nullstellen von Schargeraden?

Nullstelle: tx + 2\sqrt{t^2 + 1} = 0; \Longrightarrow x\left(t\right) = -2 \frac{\sqrt{t^2+1}}{t};$tx+2\sqrt{t^2+1}=0;\Rightarrow x\left(t\right)=-2\frac{\sqrt{t^2+1}}{t};$

Auflösen nach t$t$:

t = \frac{4}{\sqrt{x^2 - 4}}; \Longrightarrow \mathds{D}_t = \mathds{W}_x = \mathds{R} \setminus \left[-2; 2\right];$t=\frac{4}{\sqrt{x^2-4}};\Rightarrow D_t=W_x=R\setminus \left[-2;2\right];$

f)

Bestimme die Entfernung d$d$, die die beiden Achsenabschnittpunkte der Geraden zum Parameterwert t = 5$t=5$ haben.

{} P\left(-2 \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t}; 0\right); \\ {} Q\left(0; f_t\left(0\right)\right) = Q\left(0; 2\sqrt{t^2+1}\right); \\ {} \begin{array}{rcl} {} d & = & \sqrt{ P_x^2 + Q_y^2 } = \\ {} & = & \sqrt{ 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 } = \\ {} & = & 2\sqrt{ \frac{t^2 + 1}{t^2} + t^2 + 1 } = \\ {} & = & \sqrt{ 4\frac{26}{25} + 104 } = {} 2 \sqrt{ \frac{26}{25} + 26 } = {} 2 \sqrt{ \frac{676}{25} } = {} 2 \frac{26}{5} = {} \frac{52}{5}; {} \end{array}$P\left(-2\frac{\sqrt{t^2+1}}{t};0\right);Q\left(0;f_t\left(0\right)\right)=Q\left(0;2\sqrt{t^2+1}\right);\begin{array}{ccc}\hfill d& \hfill =\hfill & \sqrt{P_x^2+Q_y^2}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{4\frac{t^2+1}{t^2}+4t^2+4}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 2\sqrt{\frac{t^2+1}{t^2}+t^2+1}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{4\frac{26}{25}+104}=2\sqrt{\frac{26}{25}+26}=2\sqrt{\frac{676}{25}}=2\frac{26}{5}=\frac{52}{5};\hfill \end{array}$

g)

Bestimme die Entfernung der Achsenabschnittpunkte einer Schargeraden allgemein.

Siehe f)

h)

Für welches t$t$ beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau 4$4$?

{} \begin{array}{rcl} {} 4 & = & \sqrt{ 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 } \\ {} 16 & = & 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 \\ {} 10 & = & 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 \\ {} 10t^2 & = & 4t^2 + 4 + 4t^4 \\ {} 0 & = & 4t^4 - 6t^2 + 4 \\ {} 0 & = & 4u^2 - 6u + 4 {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill 4& \hfill =\hfill & \sqrt{4\frac{t^2+1}{t^2}+4t^2+4}\hfill \\ \hfill 16& \hfill =\hfill & 4\frac{t^2+1}{t^2}+4t^2+4\hfill \\ \hfill 10& \hfill =\hfill & 4\frac{t^2+1}{t^2}+4t^2\hfill \\ \hfill 10t^2& \hfill =\hfill & 4t^2+4+4t^4\hfill \\ \hfill 0& \hfill =\hfill & 4t^4-6t^2+4\hfill \\ \hfill 0& \hfill =\hfill & 4u^2-6u+4\hfill \end{array}$

{} D_u = 36 - 4\cdot{}4\cdot{}4 < 0 \Longrightarrow {} \mathds{L}_t = \left\{\right\}$D_u=36-4\cdot 4\cdot 4<0\Rightarrow L_t=\left\{\right\}$

i)

Zeichne die zu t \in \left\{ 0; \pm \frac{1}{4}; \pm \frac{1}{2}; \pm 1; \pm 2; \pm 4 \right\}$t\in \left\{0;\pm \frac{1}{4};\pm \frac{1}{2};\pm 1;\pm 2;\pm 4\right\}$ gehörenden Graphen (Anm.: Ich habe für t$t$ Werte von -2$-2$ bis +2$+2$ mit einer Schrittweite von 0,1$0,1$ genommen).