«11C» 58. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 58. Hausaufgabe

Bilde für den angegebenen Term \mathrm{f}(x)$\text{f}\left(x\right)$ der Funktion \mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x); \quad x \in D_{\mathrm{f}}$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right);x\in D_{\text{f}}$ den Ableitungsterm \mathrm{f}'(x)${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)$! Bei welchen Aufgaben stimmt D_{\mathrm{f}'}$D_{{\text{f}}^{\prime }}$ nicht mit D_{\mathrm{f}}$D_{\text{f}}$ überein?

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 144, Aufgabe 1f

\mathrm{f}(x) = \left(\sin x + 2\cos x\right)^3; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}\left(x\right)={\left(sinx+2cosx\right)}^3;D_{\text{f}}=R;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = 3\left(\sin x + 2\cos x\right)^2 \left(\cos x - 2\sin x\right); \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=3{\left(sinx+2cosx\right)}^2\left(cosx-2sinx\right);D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$

0.0.1.2 ↑ Buch Seite 144, Aufgabe 2

c)

\mathrm{f}(x) = \dfrac{1}{\left(x^2 + x + 1\right)^2}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x^2+x+1\right)}^2};D_{\text{f}}=R;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = -\dfrac{2\left(x^2 + x + 1\right)\left(2x + 1\right)}{\left(x^2 + x + 1\right)^4}; \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2\left(x^2+x+1\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^4};D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$

d)

\mathrm{f}(x) = \dfrac{1}{\left(2 - \sin x\right)^2}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}\left(x\right)=\frac{1}{{\left(2-sinx\right)}^2};D_{\text{f}}=R;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = 2\dfrac{\left(2 - \sin x\right) \cdot \cos x}{\left(2 - \sin x\right)^4}; \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=2\frac{\left(2-sinx\right)\cdot cosx}{{\left(2-sinx\right)}^4};D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$

e)

\mathrm{f}(x) = \dfrac{1}{\left(1 + \sqrt{x}\right)^4}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R}_0^+;$\text{f}\left(x\right)=\frac{1}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^4};D_{\text{f}}=R_0^{+};$

⇒ \mathrm{f}'(x) = -4\left(1 + \sqrt{x}\right)\frac{1}{2\sqrt{x}}; \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=-4\left(1+\sqrt{x}\right)\frac{1}{2\sqrt{x}};D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$

0.0.1.3 ↑ Buch Seite 145, Aufgabe 5e

\mathrm{f}(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x+3};D_{\text{f}}=R;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}}; \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}};D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$

0.0.1.4 ↑ Buch Seite 145, Aufgabe 6b

\mathrm{f}(x) = x \cdot \sqrt{x^2 + 1}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}\left(x\right)=x\cdot \sqrt{x^2+1};D_{\text{f}}=R;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = \sqrt{x^2 + 1} + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}x; \quad D_{\mathrm{f}'} = D_{\mathrm{f}};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}x;D_{{\text{f}}^{\prime }}=D_{\text{f}};$