0.0.1 ↑ 1. Schulaufgabe
Geschrieben am 21.10.2004
- 1. (4 Punkte für die Rechnung, 4 auf den Graph)
Gegeben ist die Funktion f(x) = \left|x + \frac{1}{2}\right| - \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x\right| mit \mathds{D}_f = \left[ -5; 5 \right].
Bestimme eine betragsfreie Darstellung von f(x) und zeichne den Graphen für x \in \mathds{D}_f.
⇒ f(x) = \begin{cases} {} -\frac{1}{2}x - 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x \leq -\frac{1}{2}; \\ {} \frac{3}{2}x & \text{f"ur } -\frac{1}{2} < x \leq 1; \\ {} \frac{1}{2}x + 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x > 1; \end{cases}
- 2.
f: x \mapsto y = -x^2 + 2x + 6; \mathds{D}_f = \mathds{R};
- a) (3 Punkte)
Bestimme einen möglichst großen Teilbereich \mathds{D}_{f_1} von \mathds{D}_f so, dass f in \mathds{D}_{f_1} umkehrbar ist und die Null in \mathds{D}_{f_1} liegt. (Scheitel bestimmen!)
f'(x) = -2x + 2 = 0; \Longrightarrow x = 1; \Longrightarrow S(1; 7);
⇒ \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];
- b) (6 Punkte)
Bestimme Term, Definitionsbereich und Wertemenge der Umkehrfunktion f_1^{-1}(x) von f in diesem Teilbereich \mathds{D}_{f_1}.
0 = -x^2 + 2x + 6 - y; \Longrightarrow x = 1 \pm \frac{7 - y};
⇒ {} f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{7 - x}; \\ {} \mathds{D}_{f_1^{-1}} = \mathds{W}_{f_1} = \left] -\infty; 7 \right]; \\ {} \mathds{W}_{f_1^{-1}} = \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];
- c) (7 Punkte)
Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar g_a: y = ax + 7.
Zeige, dass genau zwei Geraden aus der Schar den Graphen von f (mit \mathds{D}_f = \mathds{R}) berühren! Bestimme dazu die Gleichungen der Berührgeraden.
ax + 7 = -x^2 + 2x + 6; \Longrightarrow 0 = -x^2 + x\left(2 - a\right) - 1; \Longrightarrow D = 4 - 4a + a^2 - 4 \cdot -1 \cdot -1 = a^2 - 4a = 0;
⇒ a_1 = 0; a_2 = 4;
⇒ g_0: y = 7; g_4: y = 4x + 7;
- 3.
f: x \mapsto y = \frac{2x}{2\left|x\right| + 3}; \mathds{D}_f = \mathds{R};
- a) (3 Punkte)
Zeige: f ist symmetrisch. (Nachweis und Bestimmung der Symmetrieart!)
f(-x) = -\frac{2x}{2\left|-x\right| + 3} = -f(x); ⇒ Symmetrie zum Ursprung;
- b) (6 Punkte)
Untersuche f für x \geq 0 auf Monotonie. Welche Monotonieeigenschaft hat f demnach im ganzen Definitionsbereich \mathds{D}_f? (Symmetrie!)
x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2}{2x_2 + 3} - \frac{2x_1}{2x_1 + 3} = \frac{4x_1x_2 + 6x_2 - 4x_1x_2 - 6x_1}{\mathrm{HN}} = 6 \frac{x_2 - x_1}{\mathrm{HN}} gt 0; ⇒ f ist für x \geq 0 streng monoton steigend.
Symmetrie; ⇒ f ist in ganz \mathds{D}_f streng monoton steigend.
- c) (3 Punkte)
Begründe, dass f in \mathds{D}_f beschränkt ist.
[Ergebnisse aus a) und b) sollen hier verwendet werden!]
y = \frac{2x}{2x + 3}; \Longrightarrow 2xy + 3y = 2x; \Longrightarrow x\left(2y - 2\right) = -3y; \Longrightarrow x = -\frac{3y}{2y - 2} gt 0; \Longrightarrow y \neq 1; -\frac{3y}{2y - 2} \geq 0; \Longrightarrow y \leq 0; \Longrightarrow \left(y \leq 0 \cap y \geq 0\right) \cup \left(y \geq 0 \cap y \leq 1\right);
⇒ \mathds{W}_f = \left] -1; 1 \right[;