Zuletzt geändert: Mo, 25.10.2004

«11C» 1. Schulaufgabe «PDF», «POD»



Inhaltsverzeichnis:

0.0.1 1. Schulaufgabe

Geschrieben am 21.10.2004

1. (4 Punkte für die Rechnung, 4 auf den Graph)

Gegeben ist die Funktion f(x) = \left|x + \frac{1}{2}\right| - \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x\right|f(x) = x + 1 2 1 2 1 2x mit \mathds{D}_f = \left[ -5; 5 \right]Df = 5;5.

Bestimme eine betragsfreie Darstellung von f(x)f(x) und zeichne den Graphen für x \in \mathds{D}_fx Df.

f(x) = \begin{cases} {} -\frac{1}{2}x - 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x \leq -\frac{1}{2}; \\ {} \frac{3}{2}x & \text{f"ur } -\frac{1}{2} < x \leq 1; \\ {} \frac{1}{2}x + 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x > 1; \end{cases}f(x) = 1 2x 1f”ur Df x 1 2; 3 2x f”ur  1 2 < x 1; 1 2x + 1 f”ur Df x > 1;

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4
100.00
Single
-2
1200 2
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 4262 6098 4262
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 4262 1452 4262
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 4262 6031 4262
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1314 4321 -1\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 3904 6098 3904
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 3904 1452 3904
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 3904 6031 3904
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 1314 3963 -0.5\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 3546 6098 3546
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 3546 1452 3546
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 3546 6031 3546
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1314 3605  0\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 3189 6098 3189
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 3189 1452 3189
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 3189 6031 3189
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 1314 3248  0.5\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 2831 6098 2831
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 2831 1452 2831
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 2831 6031 2831
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1314 2890  1\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 2473 6098 2473
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 2473 1452 2473
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 2473 6031 2473
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 1314 2532  1.5\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 2115 6098 2115
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 2115 1452 2115
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 2115 6031 2115
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1314 2174  2\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 1758 6098 1758
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 1758 1452 1758
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 1758 6031 1758
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 1314 1817  2.5\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 1400 6098 1400
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 1400 1452 1400
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 1400 6031 1400
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1314 1459  3\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1385 1042 6098 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1385 1042 1452 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 6098 1042 6031 1042
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 1314 1101  3.5\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 1856 4262 1856 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1856 4262 1856 4195
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 1856 1042 1856 1109
4 1 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 1856 4440 -4\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 2799 4262 2799 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 2799 4262 2799 4195
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 2799 1042 2799 1109
4 1 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 2799 4440 -2\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 3742 4262 3742 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 3742 4262 3742 4195
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 3742 1042 3742 1109
4 1 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 3742 4440  0\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 4684 4262 4684 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 4684 4262 4684 4195
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 4684 1042 4684 1109
4 1 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 4684 4440  2\001
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 5627 4262 5627 1228
2 1 2 1 -1 -1 50 0 -1     4.000 0 1 0 0 0 2
	 5627 1109 5627 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 5627 4262 5627 4195
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 5627 1042 5627 1109
4 1 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 142.000 5627 4440  4\001
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 5
	 1385 4262 6098 4262 6098 1042 1385 1042 1385 4262
4 2 -1 0 -1 0 10.000  0.000 4 119.000 284.000 5534 1227 f(x)\001
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 2
	 5605 1168 5956 1168
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 101
	 1385 2473 1385 2473 1433 2509 1480 2545 1528 2582 1575 2618
	 1623 2654 1671 2690 1718 2726 1766 2762 1813 2798 1861 2835
	 1909 2871 1956 2907 2004 2943 2051 2979 2099 3015 2147 3051
	 2194 3087 2242 3124 2290 3160 2337 3196 2385 3232 2432 3268
	 2480 3304 2528 3340 2575 3377 2623 3413 2670 3449 2718 3485
	 2766 3521 2813 3557 2861 3593 2908 3630 2956 3666 3004 3702
	 3051 3738 3099 3774 3146 3810 3194 3846 3242 3883 3289 3919
	 3337 3955 3384 3991 3432 4027 3480 4063 3527 4034 3575 3926
	 3622 3817 3670 3709 3718 3601 3765 3492 3813 3384 3861 3275
	 3908 3167 3956 3059 4003 2950 4051 2842 4099 2733 4146 2625
	 4194 2516 4241 2451 4289 2415 4337 2379 4384 2343 4432 2307
	 4479 2271 4527 2235 4575 2198 4622 2162 4670 2126 4717 2090
	 4765 2054 4813 2018 4860 1982 4908 1945 4955 1909 5003 1873
	 5051 1837 5098 1801 5146 1765 5193 1729 5241 1693 5289 1656
	 5336 1620 5384 1584 5432 1548 5479 1512 5527 1476 5574 1440
	 5622 1403 5670 1367 5717 1331 5765 1295 5812 1259 5860 1223
	 5908 1187 5955 1150 6003 1114 6050 1078 6098 1042
2 1 0 1 -1 -1 50 0 -1     0.000 0 0 0 0 0 5
	 1385 4262 6098 4262 6098 1042 1385 1042 1385 4262
2.

f: x \mapsto y = -x^2 + 2x + 6; \mathds{D}_f = \mathds{R};f : xy = x2 + 2x + 6;Df = R;

a) (3 Punkte)

Bestimme einen möglichst großen Teilbereich \mathds{D}_{f_1}Df1 von \mathds{D}_fDf so, dass ff in \mathds{D}_{f_1}Df1 umkehrbar ist und die Null in \mathds{D}_{f_1}Df1 liegt. (Scheitel bestimmen!)

f'(x) = -2x + 2 = 0; \Longrightarrow x = 1; \Longrightarrow S(1; 7);f(x) = 2x + 2 = 0;x = 1;S(1;7);

\mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];Df1 = ;1;

b) (6 Punkte)

Bestimme Term, Definitionsbereich und Wertemenge der Umkehrfunktion f_1^{-1}(x)f11(x) von ff in diesem Teilbereich \mathds{D}_{f_1}Df1.

0 = -x^2 + 2x + 6 - y; \Longrightarrow x = 1 \pm \frac{7 - y};0 = x2 + 2x + 6 y;x = 1 ±7y ;

{} f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{7 - x}; \\ {} \mathds{D}_{f_1^{-1}} = \mathds{W}_{f_1} = \left] -\infty; 7 \right]; \\ {} \mathds{W}_{f_1^{-1}} = \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];f11(x) = 1 7 x; Df11 = Wf1 = ;7; Wf11 = Df1 = ;1;

c) (7 Punkte)

Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar g_a: y = ax + 7ga : y = ax + 7.

Zeige, dass genau zwei Geraden aus der Schar den Graphen von ff (mit \mathds{D}_f = \mathds{R}Df = R) berühren! Bestimme dazu die Gleichungen der Berührgeraden.

ax + 7 = -x^2 + 2x + 6; \Longrightarrow 0 = -x^2 + x\left(2 - a\right) - 1; \Longrightarrow D = 4 - 4a + a^2 - 4 \cdot -1 \cdot -1 = a^2 - 4a = 0;ax+7 = x2 +2x+6;0 = x2 +x 2 a1;D = 44a+a2 411 = a2 4a = 0;

a_1 = 0; a_2 = 4;a1 = 0;a2 = 4;

g_0: y = 7; g_4: y = 4x + 7;g0 : y = 7;g4 : y = 4x + 7;

3.

f: x \mapsto y = \frac{2x}{2\left|x\right| + 3}; \mathds{D}_f = \mathds{R};f : xy = 2x 2x+3;Df = R;

a) (3 Punkte)

Zeige: ff ist symmetrisch. (Nachweis und Bestimmung der Symmetrieart!)

f(-x) = -\frac{2x}{2\left|-x\right| + 3} = -f(x);f(x) = 2x 2x+3 = f(x); ⇒ Symmetrie zum Ursprung;

b) (6 Punkte)

Untersuche ff für x \geq 0x 0 auf Monotonie. Welche Monotonieeigenschaft hat ff demnach im ganzen Definitionsbereich \mathds{D}_fDf? (Symmetrie!)

x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2}{2x_2 + 3} - \frac{2x_1}{2x_1 + 3} = \frac{4x_1x_2 + 6x_2 - 4x_1x_2 - 6x_1}{\mathrm{HN}} = 6 \frac{x_2 - x_1}{\mathrm{HN}} gt 0;x1,x2 0;x1 < x2;f(x2)f(x1) = 2x2 2x2+3 2x1 2x1+3 = 4x1x2+6x24x1x26x1 HN = 6x2x1 HN gt0;ff ist für x \geq 0x 0 streng monoton steigend.

Symmetrie; ⇒ ff ist in ganz \mathds{D}_fDf streng monoton steigend.

c) (3 Punkte)

Begründe, dass ff in \mathds{D}_fDf beschränkt ist.

[Ergebnisse aus a) und b) sollen hier verwendet werden!]

y = \frac{2x}{2x + 3}; \Longrightarrow 2xy + 3y = 2x; \Longrightarrow x\left(2y - 2\right) = -3y; \Longrightarrow x = -\frac{3y}{2y - 2} gt 0; \Longrightarrow y \neq 1; -\frac{3y}{2y - 2} \geq 0; \Longrightarrow y \leq 0; \Longrightarrow \left(y \leq 0 \cap y \geq 0\right) \cup \left(y \geq 0 \cap y \leq 1\right);y = 2x 2x+3;2xy + 3y = 2x;x 2y 2 = 3y;x = 3y 2y2gt0;y1; 3y 2y2 0;y 0; y 0 y 0 y 0 y 1;

\mathds{W}_f = \left] -1; 1 \right[;Wf = 1;1;