«11C» 4. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 4. Hausaufgabe

Die Zahl -21 + 20\mathrm{i}$-21+20\text{i}$ ist ein Quadrat einer komplexen Grundzahl x + \mathrm{i}y$x+\text{i}y$. Bestimme dieselbe! Ist die Lösung eindeutig?

1. Herleiten einer allgemeinen Lösungsformel:

   {} a,b, x,y \in \mathds{R}; z^2 = a + b\mathrm{i} \in \mathds{C}; \\ {} \begin{array}{rcl} {} z^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\ {} \left(x + \mathrm{i}y\right)^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\ {} x^2 + 2xy\mathrm{i} - y^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\ {} x^2 - y^2 + 2xy\mathrm{i} &=& a + b\mathrm{i}; \Rightarrow {} \end{array}\\ {} \left.\begin{array}{l} {} x^2 - y^2 = a; \\ {} 2xy = b; \Rightarrow x = \frac{b}{2y}; {} \end{array}\right\}\Rightarrow {} \begin{array}{rcl} {} \frac{b^2}{4y^2} - y^2 &=& a; \\ {} b^2 - 4y^4 - 4ay^2 &=& 0; \\ {} -4y^4 - 4ay^2 + b^2 &=& 0; \Rightarrow {} \end{array}\\ {} \left.\begin{array}{l} {} -4y^4 - 4ay^2 + b^2 = 0; \\ {} y^2 = u; {} \end{array}\right\}\Rightarrow {} -4u^2 - 4au + b^2 = 0; \Rightarrow \\ {} \begin{array}{rcl} {} u_{1, 2} &=& \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 4 \cdot -4 \cdot b^2}}{-8} = \\ {} &=& -\frac{4a \pm 4\sqrt{a^2 + b^2}}{8} = \\ {} &=& -\frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}; \Rightarrow {} \end{array}\\ {} \left.\begin{array}{l} {} y_{1, 2, 3, 4} = \pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}; \Rightarrow\\ {} x_{1, 2, 3, 4} = \frac{b}{2y_{1, 2, 3, 4}}; {} \end{array}\right\}\Rightarrow {} z = \frac{b}{2\cdot\pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}} \pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\mathrm{i};$a,b,x,y\in R;z^2=a+b\text{i}\in C;\begin{array}{ccc}\hfill z^2& \hfill =\hfill & a+b\text{i};\hfill \\ \hfill {\left(x+\text{i}y\right)}^2& \hfill =\hfill & a+b\text{i};\hfill \\ \hfill x^2+2xy\text{i}-y^2& \hfill =\hfill & a+b\text{i};\hfill \\ \hfill x^2-y^2+2xy\text{i}& \hfill =\hfill & a+b\text{i};\Rightarrow \hfill \end{array}\left.\begin{array}{c}{x}^2-y^2=a;\hfill \\ 2xy=b;\Rightarrow x=\frac{b}{2y};\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{ccc}\hfill \frac{b^2}{4y^2}-y^2& \hfill =\hfill & a;\hfill \\ \hfill b^2-4y^4-4a{y}^2& \hfill =\hfill & 0;\hfill \\ \hfill -4y^4-4a{y}^2+b^2& \hfill =\hfill & 0;\Rightarrow \hfill \end{array}\left.\begin{array}{c}-4y^4-4a{y}^2+b^2=0;\hfill \\ y^2=u;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow -4u^2-4au+b^2=0;\Rightarrow \begin{array}{ccc}\hfill u_{1,2}& \hfill =\hfill & \frac{4a\pm \sqrt{16a^2-4\cdot -4\cdot b^2}}{-8}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & -\frac{4a\pm 4\sqrt{a^2+b^2}}{8}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & -\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2};\Rightarrow \hfill \end{array}\left.\begin{array}{c}{y}_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{-\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}};\Rightarrow \hfill \\ x_{1,2,3,4}=\frac{b}{2y_{1,2,3,4}};\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow z=\frac{b}{2\cdot \pm \sqrt{-\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}}}\pm \sqrt{-\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}}\text{i};$

   Diskriminante:

   {} \begin{array}{rcl} {} D = -\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2} &>& 0; \\ {} a\pm\sqrt{a^2+b^2} &<& 0; {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill D=-\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}& \hfill >\hfill & 0;\hfill \\ \hfill a\pm \sqrt{a^2+b^2}& \hfill <\hfill & 0;\hfill \end{array}$

   Neuschreiben der Lösung mit Hilfe der Diskriminante:

   z = \frac{b}{2\cdot\pm\sqrt{D}} \pm\sqrt{D}\mathrm{i};$z=\frac{b}{2\cdot \pm \sqrt{D}}\pm \sqrt{D}\text{i};$

2. Lösen der eigentlichen Aufgabe:

   z^2 = -21 + 20\mathrm{i}; \Rightarrow (a, b) = (-21, 20);$z^2=-21+20\text{i};\Rightarrow \left(a,b\right)=\left(-21,20\right);$ ⇒

   Betrachtung der Diskriminanten: -21 \pm 29 < 0;$-21\pm 29<0;$ ⇒ Wegfall der "+"-Lösung, da -21 + 29 > 0;$-21+29>0;$

   • z_1 = 2 + 5\mathrm{i};$z_1=2+5\text{i};$

   • z_2 = -2 - 5\mathrm{i};$z_2=-2-5\text{i};$

3. Probe