«11C» Anschauliche Deutung der komplexen Zahlen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Anschauliche Deutung der komplexen Zahlen

• GAUßsche Zahlenebene

• komplexe Zahlen als Vektoren

  Pfeile, die vom Ursprung ausgehen, heißen Ortsvektoren.

0.0.1.1 ↑ Betrag komplexer Zahlen

\left|z\right| = \left|x + \mathrm{i}y\right| = \sqrt{x^2 + y^2};$\left|z\right|=\left|x+\text{i}y\right|=\sqrt{x^2+y^2};$

Abstand zweier Punkte: \left|\vec{d}\right| = \left|\vec{z_2} - \vec{z_1}\right|;$\left|\overrightarrow{d}\right|=\left|\overrightarrow{z_2}-\overrightarrow{z_1}\right|;$

Dreiecksungleichung: \left|z_1 + z_2\right| \leq \left|z_1\right| + \left|z_2\right|;$\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|;$

0.0.1.2 ↑ Polarform komplexer Zahlen

z = x + \mathrm{i}y;$z=x+\text{i}y;$ (Normalform)

z$z$ wird festgelegt durch

• Abstand vom Ursprung \left|z\right| = r;$\left|z\right|=r;$

• Winkel \varphi$\varphi$ zwischen Re-Achse und Vektor z$z$ (gemessen im Bogenmaß)

Zusammenhänge mit der Normalform:

• r = \left|z\right| = \sqrt{x^2 + y^2};$r=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2};$

• \tan \varphi = \frac{y}{x};$tan\varphi =\frac{y}{x};$

Polarkoordinaten: z = (r; \varphi);$z=\left(r;\varphi \right);$

• x = r \cdot \cos \varphi;$x=r\cdot cos\varphi ;$

• y = r \cdot \sin \varphi;$y=r\cdot sin\varphi ;$

Darstellung: z = x + \mathrm{i}y = r \cdot \left(\cos\varphi + \mathrm{i}\cdot\sin\varphi\right);$z=x+\text{i}y=r\cdot \left(cos\varphi +\text{i}\cdot sin\varphi \right);$ (Polarform von z$z$!)

Abkürzung: E(\varphi) = \cos\varphi + \mathrm{i}\cdot\sin\varphi;$E\left(\varphi \right)=cos\varphi +\text{i}\cdot sin\varphi ;$

\left|E(\varphi)\right| = \sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = \sqrt{1} = 1;$\left|E\left(\varphi \right)\right|=\sqrt{{cos}^2\varphi +{sin}^2\varphi }=\sqrt{1}=1;$

⇒ Die komplexen Zahlen E(\varphi)$E\left(\varphi \right)$ liegen auf dem Einheitskreis.

z = r \cdot E(\varphi);$z=r\cdot E\left(\varphi \right);$

Eigenschaften von E(\varphi)$E\left(\varphi \right)$:

• \left|E(\varphi)\right| = 1;$\left|E\left(\varphi \right)\right|=1;$

• \left|E(\varphi)\right|$\left|E\left(\varphi \right)\right|$ ist periodisch.

  E(\varphi + 2k\pi) = E(\varphi); \quad k \in \mathds{Z};$E\left(\varphi +2k\pi \right)=E\left(\varphi \right);k\in Z;$

• E(\varphi_1) \cdot E(\varphi_2) = \ldots = E(\varphi_1 + \varphi_2);$E\left({\varphi }_1\right)\cdot E\left({\varphi }_2\right)=\dots =E\left({\varphi }_1+{\varphi }_2\right);$

Folgerungen:

Für \varphi_2 = -\varphi_1 = -\varphi;${\varphi }_2=-{\varphi }_1=-\varphi ;$ ⇒ E(\varphi) \cdot E(-\varphi) = E(0) = 1;$E\left(\varphi \right)\cdot E\left(-\varphi \right)=E\left(0\right)=1;$ ⇒ E(-\varphi) = \frac{1}{E(\varphi)};$E\left(-\varphi \right)=\frac{1}{E\left(\varphi \right)};$

Für \varphi_1 = \varphi_2 = \varphi;${\varphi }_1={\varphi }_2=\varphi ;$ ⇒ \left[E(\varphi)\right]^2 = E(2\varphi);${\left[E\left(\varphi \right)\right]}^2=E\left(2\varphi \right);$

\left[E(\varphi)\right]^n = E(n \cdot \varphi); \quad \text{f"ur } n \in \mathds{N}; \varphi \in \mathds{R};${\left[E\left(\varphi \right)\right]}^n=E\left(n\cdot \varphi \right);\text{f”ur }n\in N;\varphi \in R;$ (Formel von MOIVRE)

Produkte in Polarform:

z_1 = \left|z_1\right| E(\varphi_1);\\$z_1=\left|z_1\right|E\left({\varphi }_1\right);$ z_2 = \left|z_2\right| E(\varphi_2);$z_2=\left|z_2\right|E\left({\varphi }_2\right);$

z_1 z_2 = \left|z_1 z_2\right| E(\varphi_1 + \varphi_2);$z_1{z}_2=\left|z_1{z}_2\right|E\left({\varphi }_1+{\varphi }_2\right);$

\left|z_1\right| \cdot \left|z_2\right| = \left|z_1 \cdot z_2\right|;$\left|z_1\right|\cdot \left|z_2\right|=\left|z_1\cdot z_2\right|;$

Regel: Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet Multiplikation der Beträge und Addition der Winkelargumente.

Division in Polarform:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} E(\varphi_1 - \varphi_2);$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}E\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right);$

Regel: Division zweier komplexer Zahlen bedeutet Division der Beträge und Subtraktion der Winkelargumente.

Anwendungen:

a) \cos 15^\circ$cos15^{\circ }$ und \sin 15^\circ$sin15^{\circ }$ in exakter Form:

Ansatz: 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ;$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ };$

E(15^\circ) = \cos 15^\circ + \mathrm{i}\sin 15^\circ = E(45^\circ - 30^\circ) = \frac{E(45^\circ)}{E(30^\circ)} = \ldots = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$E\left(15^{\circ }\right)=cos15^{\circ }+\text{i}sin15^{\circ }=E\left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\frac{E\left(45^{\circ }\right)}{E\left(30^{\circ }\right)}=\dots =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\text{i}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$

⇒ \cos 15^\circ = \mathrm{Re}\!\left[E(15^\circ)\right]; \quad \sin 15^\circ = \mathrm{Im}\!\left[E(15^\circ)\right];$cos15^{\circ }=\text{Re}\left[E\left(15^{\circ }\right)\right];sin15^{\circ }=\text{Im}\left[E\left(15^{\circ }\right)\right];$

b) Trigonometrische Formeln:

\cos 2\varphi + \mathrm{i}\sin 2\varphi = E(2\varphi) = \left[E(\varphi)\right]^2 = \left[\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\right]^2 = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi + 2\mathrm{i}\cos\varphi\sin\varphi;$cos2\varphi +\text{i}sin2\varphi =E\left(2\varphi \right)={\left[E\left(\varphi \right)\right]}^2={\left[cos\varphi +\text{i}sin\varphi \right]}^2={cos}^2\varphi -{sin}^2\varphi +2\text{i}cos\varphi sin\varphi ;$

⇒ \cos 2\varphi = cos^2\varphi - \sin^2\varphi; \quad \sin 2\varphi = 2\cos\varphi\sin\varphi;$cos2\varphi =co{s}^2\varphi -{sin}^2\varphi ;sin2\varphi =2cos\varphi sin\varphi ;$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} \cdot E(\varphi_1 - \varphi_2);$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\cdot E\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right);$

Def.: Der Winkel \varepsilon = \angle(z_1, z_2)$\varepsilon =\angle \left(z_1,z_2\right)$ ist der Winkel, um den man z_1$z_1$ (im positiven Drehsinn) drehen muss, damit z_1$z_1$ in Richtung von z_2$z_2$ weist.

[Falls \varphi_1 - \varphi_2 < 0${\varphi }_1-{\varphi }_2<0$ ist, ist \varepsilon = \varphi_1 - \varphi_2 + 360^\circ$\varepsilon ={\varphi }_1-{\varphi }_2+360^{\circ }$.]

\angle(z_2, z_1) = \mathrm{arc} \frac{z_1}{z_2};$\angle \left(z_2,z_1\right)=\text{arc}\frac{z_1}{z_2};$ ("Winkel, um den man z_2$z_2$ drehen muss, damit z_2$z_2$ in Richtung von z_1$z_1$ zeigt")

(Addiere evtl. zum Taschenrechnerwert des Arcustangens 0^\circ$0^{\circ }$ im I. Quadranten, 180^\circ$180^{\circ }$ im II. und III. Quadranten und 360^\circ$360^{\circ }$ im IV. Quadranten.)

0.0.1.3 ↑ Anwendung der Formel von Moivre

\left[E(\varphi)\right]^n = E(n \cdot \varphi);${\left[E\left(\varphi \right)\right]}^n=E\left(n\cdot \varphi \right);$

Lösungen der Gleichung z^n = 1;$z^n=1;$ ("Einheitswurzeln")

n = 3$n=3$: z^3 = 1 = 1 \cdot E(0^\circ); \Rightarrow z_1 = 1; \quad z_2 = E(120^\circ); \quad z_3 = E(240^\circ);$z^3=1=1\cdot E\left(0^{\circ }\right);\Rightarrow z_1=1;z_2=E\left(120^{\circ }\right);z_3=E\left(240^{\circ }\right);$

Zur Gleichung z^n = 1$z^n=1$:

L_\varphi = \left\{ 0, \frac{1}{n}2\pi, \frac{2}{n}2\pi, ..., \frac{n-1}{n}2\pi \right\};$L_{\varphi }=\left\{0,\frac{1}{n}2\pi ,\frac{2}{n}2\pi ,...,\frac{n-1}{n}2\pi \right\};$

d.h. z_k = E(\frac{k-1}{n}2\pi); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[1, n\right];$z_k=E\left(\frac{k-1}{n}2\pi \right);k\in N\cap \left[1,n\right];$

Allgemein: z^n = E(\varphi); \Rightarrow z_k = E(\dfrac{\varphi + \left(k-1\right) \cdot 360^\circ}{n}); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[1, n\right];$z^n=E\left(\varphi \right);\Rightarrow z_k=E\left(\frac{\varphi +\left(k-1\right)\cdot 360^{\circ }}{n}\right);k\in N\cap \left[1,n\right];$

Die Gleichung z^n = a; \quad a \in \mathds{C};$z^n=a;a\in C;$

z^n = a; \Leftrightarrow \left|z\right|^n E(n\varphi) = \left|a\right| E(\alpha);$z^n=a;\iff {\left|z\right|}^{n}E\left(n\varphi \right)=\left|a\right|E\left(\alpha \right);$

⇒ \left|z\right| = \sqrt[n]{\left|a\right|}; \wedge E(n\varphi) = E(\alpha);$\left|z\right|=\sqrt[n]{\left|a\right|};\wedge E\left(n\varphi \right)=E\left(\alpha \right);$

D.h. n\varphi = \alpha + k \cdot 360^\circ; \quad k \in \mathds{N} \cap \left[0, n-1\right];$n\varphi =\alpha +k\cdot 360^{\circ };k\in N\cap \left[0,n-1\right];$

\varphi_n = \frac{\alpha}{n} + \frac{n-1}{n} \cdot 360^\circ;${\varphi }_n=\frac{\alpha }{n}+\frac{n-1}{n}\cdot 360^{\circ };$

⇒ z_k = \sqrt[n]{\left|a\right|} E(\frac{\alpha}{n} + \frac{k}{n} \cdot 360^\circ); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[0, n-1\right];$z_k=\sqrt[n]{\left|a\right|}E\left(\frac{\alpha }{n}+\frac{k}{n}\cdot 360^{\circ }\right);k\in N\cap \left[0,n-1\right];$

Alle Lösungen haben gleichen Betrag und liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius \sqrt[n]{\left|a\right|}$\sqrt[n]{\left|a\right|}$.