«11C» Regeln für Zahlenbereichserweiterungen «PDF», «POD»

1 ↑ Mathematik: Komplexe Zahlen

1.1 ↑ Schulheft

1.1.1 ↑ Regeln für Zahlenbereichserweiterungen

Die alten Rechengesetze sollen weiter (und auch für die "neuen" Zahlen) gelten (Permanenzprinzip).

Zahlenmengen: \mathds{N}$N$, \mathds{Z}$Z$, \mathds{Q}$Q$, \mathds{R}$R$ (algebraische Zahlen (Menge der Nullstellen aller Polynomfunktionen) und transzendente Zahlen (z.B. \pi$\pi$, \lg 2$lg2$, \sin 31^\circ$sin31^{\circ }$))

1.1.2 ↑ Rechengesetze

Kommutativgesetze

{} a+b = b + a; \\ {} a \cdot b = b \cdot a;$a+b=b+a;a\cdot b=b\cdot a;$

Assoziativgesetze

{} \left(a + b\right) + c = a + \left(b + c\right) = a + b + c; \\ {} \left(a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c\right) = a \cdot b \cdot c;$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)=a+b+c;\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)=a\cdot b\cdot c;$

Distributivgesetz

{} a \cdot \left(b + c\right) = ab + ac;$a\cdot \left(b+c\right)=ab+ac;$

Weitere Eigenschaften der reelen Zahlen:

• K-, A-, D-Gesetze

• Abgeschlossenheit der Rechenoperatinen: Für zwei Zahlen a, b \in \mathds{M}$a,b\in M$ gilt:

  a + b \in \mathds{M}; \\ a \cdot b \in \mathds{M};$a+b\in M;a\cdot b\in M;$

• Eindeutigkeit der Rechenoperationen, d.h. das Ergebnis von a+b$a+b$ ist a\cdot{}b$a\cdot b$ ist eindeutig.

• Existenz des neutralen Elements in \mathds{M}$M$:

  a + 0 = a$a+0=a$ ("Nullelement");

  a \cdot 1 = a$a\cdot 1=a$ ("Einselement");

• Existenz der inversen Elemente:

  Zu jedem a \in \mathds{M}$a\in M$ existiert ein Inverses \overline{a}$\overline{a}$, so dass a + \overline{a} = 0;$a+\overline{a}=0;$

  Zu jedem a \in \mathds{M} \setminus \left\{ 0 \right\}$a\in M\setminus \left\{0\right\}$ existiert ein Inverses \frac{1}{a}$\frac{1}{a}$, sodass a \cdot \frac{1}{a} = 1;$a\cdot \frac{1}{a}=1;$

Erfüllen alle Elemente von \mathds{M}$M$ alle die Eigenschaften, so nennt man \mathds{M}$M$ "Körper" (Bsps.: \mathds{Q}$Q$, \mathds{R}$R$).

Beispiel: Restklassenkörper modulo 5 (siehe Buch Seite 15), Restklassen modulo 6

Die Restklassen modulo einer Primzahl liefern immer einen Körper. Die Restklassenkörper sind Beispiele für endliche Körper.

Eigenschaften von Mengen, die sich anordnen lassen:

• Trichotomie:

  Für zwei Elemente a, b$a,b$ gilt genau eines von den drei Möglichkeiten a > b$a>b$, a < b$a<b$, a = b$a=b$.

• Transitivität:

  {} \left.\begin{array}{l} {} a > b; \\ {} b > c; {} \end{array}\right\} \Rightarrow {} a > c;$\left.\begin{array}{c}a>b;\hfill \\ b>c;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow a>c;$

• Monotonie: a, b, c \in \mathds{R};$a,b,c\in R;$

  • a < b; \Rightarrow a + c > b + c;$a<b;\Rightarrow a+c>b+c;$

  • a < b; \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c; c > 0;$a<b;\Rightarrow a\cdot c>b\cdot c;c>0;$

Die endlichen Körper lassen sich nicht anordnen.