«11C» 43. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 43. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

Wie groß wäre die Umlaufzeit des Mondes, wenn er die doppelte Geschwindigkeit hätte? Wie groß ist dann sein Bahnradius?

v_0 = 2\pi \dfrac{r_0}{T_0};$v_0=2\pi \frac{r_0}{T_0};$

v = 2v_0 = 4\pi \dfrac{r_0}{T_0};$v=2v_0=4\pi \frac{r_0}{T_0};$

v = \sqrt{G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{r}}; \Rightarrow r = G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{v^2};$v=\sqrt{G\cdot \frac{M_{\text{Erde}}}{r}};\Rightarrow r=G\cdot \frac{M_{\text{Erde}}}{v^2};$

4\pi \dfrac{r_0}{T_0} = 2\pi \dfrac{r}{T} = G \cdot M_{\mathrm{Erde}} \cdot \dfrac{T_0^2}{T} \cdot \dfrac{1}{16\pi \cdot r_0^2};$4\pi \frac{r_0}{T_0}=2\pi \frac{r}{T}=G\cdot M_{\text{Erde}}\cdot \frac{T_0^2}{T}\cdot \frac{1}{16\pi \cdot r_0^2};$

⇒ T = G \cdot M_{\mathrm{Erde}} \cdot \dfrac{T_0^3}{r_0^3} \cdot \dfrac{1}{32\pi^2} = 3,\!38\mathrm{d};$T=G\cdot M_{\text{Erde}}\cdot \frac{T_0^3}{r_0^3}\cdot \frac{1}{32{\pi }^2}=3,38\text{d};$

⇒ r = G \cdot M_{\mathrm{Erde}} \cdot \dfrac{T_0^2}{r_0^2} \cdot \dfrac{1}{16\pi^2} = 93,\!7 \cdot 10^6\mathrm{m};$r=G\cdot M_{\text{Erde}}\cdot \frac{T_0^2}{r_0^2}\cdot \frac{1}{16{\pi }^2}=93,7\cdot 10^6\text{m};$