«11C» 50. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 50. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 125, Aufgabe 1

Ein Körper der Masse m = 50\mathrm{g}$m=50\text{g}$ schwingt harmonisch. In 8T = 10\mathrm{s}$8T=10\text{s}$ vollendet er 8$8$ Schwingungen. Die Zeitrechnung möge beginnen, wenn er die Nullage in Richtung der positiven y$y$-Achse passiert. Der Abstand der Umkehrpunkte beträgt 2A = 18\mathrm{cm}$2A=18\text{cm}$.

a)

An welcher Stelle befindet sich der Körper nach 8,\!0\mathrm{s}$8,0\text{s}$?

y(8,\!0\mathrm{s}) = A \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T} 8,\!0\mathrm{s}\right) = 5\mathrm{cm};$y\left(8,0\text{s}\right)=Asin\left(\frac{2\pi }{T}8,0\text{s}\right)=5\text{cm};$

b)

Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung nach 8,\!0\mathrm{s}$8,0\text{s}$? Geben Sie auch die Richtung dieser vektorellien Größen bezüglich der y$y$-Achse an.

v(8,\!0\mathrm{s}) = A \dfrac{2\pi}{T} \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T} 8,\!0\mathrm{s}\right) = -0,\!4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$v\left(8,0\text{s}\right)=A\frac{2\pi }{T}cos\left(\frac{2\pi }{T}8,0\text{s}\right)=-0,4\frac{\text{m}}{\text{s}};$

a(8,\!0\mathrm{s}) = -A \cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T} 8,\!0\mathrm{s}\right) = -1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$a\left(8,0\text{s}\right)=-A\cdot {\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^{2}sin\left(\frac{2\pi }{T}8,0\text{s}\right)=-1\frac{\text{m}}{\text{s}};$

c)

Berechnen Sie die Maxima der Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigung.

\left|v_{\mathrm{max}}\right| = v(0) = A \dfrac{2\pi}{T} \cos 0 = A \dfrac{2\pi}{T} = 0,\!5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$\left|v_{\text{max}}\right|=v\left(0\right)=A\frac{2\pi }{T}cos0=A\frac{2\pi }{T}=0,5\frac{\text{m}}{\text{s}};$

\left|a_{\mathrm{max}}\right| = \left|a\!\left(\dfrac{T}{4}\right)\right| = -A \cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 \sin \frac{\pi}{2} = 2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$\left|a_{\text{max}}\right|=\left|a\left(\frac{T}{4}\right)\right|=-A\cdot {\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^{2}sin\frac{\pi }{2}=2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

d)

Wann besitzt der Körper maximale Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsbeträge?

t_{\mathrm{max. Geschw.}} = \dfrac{T}{2} k; \quad k \in \mathds{N}_0;$t_{\text{max. Geschw.}}=\frac{T}{2}k;k\in N_0;$

t_{\mathrm{max. Beschl.}} = \dfrac{T}{4} \left(2k + 1\right); \quad k \in \mathds{N}_0;$t_{\text{max. Beschl.}}=\frac{T}{4}\left(2k+1\right);k\in N_0;$

e)

Wie groß ist die Rückstellkraft nach 8,\!0\mathrm{s}$8,0\text{s}$?

F(8,\!0\mathrm{s}) = ma(8,\!0\mathrm{s}) = -0,\!07\mathrm{N};$F\left(8,0\text{s}\right)=ma\left(8,0\text{s}\right)=-0,07\text{N};$

f)

Zu welchen Zeitpunkten ist der Betrag der Rückstellkraft maximal?

t_{\mathrm{max. R"uckstellkraft.}} = \dfrac{T}{4} \left(2k + 1\right); \quad k \in \mathds{N}_0;$t_{\text{max. R”uckstellkraft.}}=\frac{T}{4}\left(2k+1\right);k\in N_0;$

g)

Berechen Sie den Betrag der maximalen Rückstellkraft.

\left|F_{\mathrm{max}}\right| = m \left|a\!\left(\dfrac{T}{4}\right)\right| = 0,\!1\mathrm{N};$\left|F_{\text{max}}\right|=m\left|a\left(\frac{T}{4}\right)\right|=0,1\text{N};$