«11C» Der Impuls

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D °	Ek	G	E °	E °
Mi °	Ph °	L °	Ek	D °
L °	Ch	D °	Mi °	Re
Mu	Mk °	Mi °	D °	G
L °	Re	E °	Ph °	Ch
Ph °	E °	Mk °	Ch	L °
Sm			Ku
Sm			Ku

Inhaltsverzeichnis:

- - 0.0.1 Der Impuls
  - 0.0.2 Der Impulserhaltungssatz

0.0.1 ↑ Der Impuls

Kugelexperiment:

Verbunden: E_{\mathrm{ges}} = E_F = \frac{1}{2}Ds^2; $E_{ges} = E_{F} = \frac{1}{2} D s^{2};$

Gelöst: E_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2; $E_{ges} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2};$

\frac{1}{2}Ds^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2; $\frac{1}{2} D s^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2};$

⇒ Eine Gleichung für zwei Unbekannte.

⇒ Energieerhaltung genügt nicht zur Beschreibung der Bewegung.

Betrachte die Kräfte:

3. NEWTONsche Gesetz: \vec{F_1} = - \vec{F_2}; $\vec{F_{1}} = - \vec{F_{2}};$

⇒ m_1 a_1 = -m_2 a_2; \Rightarrow m_1\frac{\Delta v_1}{\Delta t_1} = -m_2\frac{\Delta v_2}{\Delta t_2}; \Rightarrow m_1 \Delta v_1 = -m_2 \Delta v_2; \Rightarrow m_1v_1 = -m_2v_2; $m_{1} a_{1} = - m_{2} a_{2}; \Rightarrow m_{1} \frac{Δ v_{1}}{Δ t_{1}} = - m_{2} \frac{Δ v_{2}}{Δ t_{2}}; \Rightarrow m_{1} Δ v_{1} = - m_{2} Δ v_{2}; \Rightarrow m_{1} v_{1} = - m_{2} v_{2};$

Beide Gleichungen beschreiben die Bewegung vollständig.

Definition: Unter dem Impuls p $p$ verstehen wir das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit \left[p\right] = \left[m \cdot v\right] = 1 \frac{\mathrm{kg} \mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 1 \mathrm{N}\mathrm{s}; $[p] = [m \cdot v] = 1 \frac{kg m}{s} = 1 N s;$

m_1v_1' + m_2v_2' = 0 = p_{\mathrm{ges}}; $m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} = 0 = p_{ges};$

Vor dem Lösen der Verbindung: v_1 = v_2 = 0; \Rightarrow p_1 = p_2 = 0; \Rightarrow p_{\mathrm{ges}} = p_1 + p_2 = 0; $v_{1} = v_{2} = 0; \Rightarrow p_{1} = p_{2} = 0; \Rightarrow p_{ges} = p_{1} + p_{2} = 0;$

0.0.2 ↑ Der Impulserhaltungssatz

Ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße?

Betrachte Stoß zwischen Wagen (m_1 $m_{1}$ und m_2 $m_{2}$ ) mit den Anfangsgeschwindigkeiten v_1 $v_{1}$ und v_2 $v_{2}$ :

p_{\mathrm{ges}} = p_1 + p_2 = m_1v_1 + m_2v_2; $p_{ges} = p_{1} + p_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2};$

Nach dem Stoß:

v_1' = v_1 + \Delta v_1; $v_{1}^{'} = v_{1} + Δ v_{1};$
v_2' = v_2 + \Delta v_2; $v_{2}^{'} = v_{2} + Δ v_{2};$

\Delta v_1, \Delta v_2 $Δ v_{1}, Δ v_{2}$ : Geschwindigkeitsänderungen beim Stoß.

p_{\mathrm{ges}}' = p_1' + p_2' = m_1\left(v_1 + \Delta v_1\right) + m_2\left(v_2 + \Delta v_2\right); $p_{ges}^{'} = p_{1}^{'} + p_{2}^{'} = m_{1} (v_{1} + Δ v_{1}) + m_{2} (v_{2} + Δ v_{2});$

m_1a_1 = -m_2a_2; \Rightarrow m_1\frac{\Delta v_1}{\Delta t} = -m_2\frac{\Delta v_2}{\Delta t}; \Rightarrow m_1v_1 = -m_2v_2; $m_{1} a_{1} = - m_{2} a_{2}; \Rightarrow m_{1} \frac{Δ v_{1}}{Δ t} = - m_{2} \frac{Δ v_{2}}{Δ t}; \Rightarrow m_{1} v_{1} = - m_{2} v_{2};$

p_{\mathrm{ges}}' = m_1v_1 + m_2v_2 + m_1 \Delta v_1 + m_2 \Delta v_2 = m_1v_1 + m_2v_2; $p_{ges}^{'} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} + m_{1} Δ v_{1} + m_{2} Δ v_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2};$

\Rightarrow p_{\mathrm{ges}}' = p_{\mathrm{ges}}; $\Rightarrow p_{ges}^{'} = p_{ges};$

Impulserhaltungssatz: In einem reibungsfreien, abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls konstant.

\overline{F} = \frac{\Delta p}{\Delta t}; $\bar{F} = \frac{Δ p}{Δ t};$

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0.0.1 ↑ Der Impuls

0.0.2 ↑ Der Impulserhaltungssatz