«11C» Mechanische Schwingungen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Mechanische Schwingungen

0.0.1.1 ↑ Grundgrößen

• Schwingungsdauer T$T$ (Periode)

• Frequenz f$f$:

  Quotient aus der Anzahl der Schwingungen n$n$ und der dafür benötigten Zeit t$t$

  f = \frac{n}{t};$f=\frac{n}{t};$

  Speziell für n = 1$n=1$; ⇒ f = \frac{1}{T};$f=\frac{1}{T};$

  Einheit: 1 \mathrm{s}^{-1} = 1 \mathrm{Hz}$1{\text{s}}^{-1}=1\text{Hz}$ (HEINZ, err, HERTZ)

• Momentane Auslenkung oder Elongation y(t)$y\left(t\right)$:

  Zeitabhängig, Abstand des Körpers von der Ruhelage

  Am Gleichgewichtspunkt ist y = 0;$y=0;$

• Amplitude A$A$: Maximale Elongation (A > 0$A>0$)

• Die Rückstellkraft F$F$ ist diejenige Kraft, die auf den ausgelenkten Körper in Richtung der Ruhelage wirkt.

0.0.1.2 ↑ Gleichförmige Kreisbewegung und harmonische Schwingung

Es gilt:

{} \left.\begin{array}{rcl} {} y(t) &=& A \cdot \varphi; \\ {} \varphi &=& \omega t; {} \end{array}\right\} \Rightarrow y(t) = A \cdot \sin \omega{}t; \Rightarrow y(t) = A \cdot \sin(2\pi \frac{t}{T});$\left.\begin{array}{ccc}\hfill y\left(t\right)& \hfill =\hfill & A\cdot \varphi ;\hfill \\ \hfill \varphi & \hfill =\hfill & \omega t;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow y\left(t\right)=A\cdot sin\omega t;\Rightarrow y\left(t\right)=A\cdot sin\left(2\pi \frac{t}{T}\right);$

Die Schattenprojektor der Kreisbewegung führt eine Sinusschwingung aus. Man nennt periodische Sinusschwingungen auch harmonische Schwingungen.

0.0.1.3 ↑ Eigenschaften harmonischer Schwingungen

• Weg-Zeit-Funktion: y(t) = A \cdot \sin \omega{}t;$y\left(t\right)=A\cdot sin\omega t;$

• Geschwindigkeit-Zeit-Funktion: v(t) = \dot{y}(t) = A\omega \cdot \cos \omega{}t;$v\left(t\right)=ẏ\left(t\right)=A\omega \cdot cos\omega t;$

• Beschleunigung-Zeit-Funktion: a(t) = \dot{v}(t) = \ddot{y}(t) = -A\omega^2 \cdot \sin \omega{}t;$a\left(t\right)=\dot{v}\left(t\right)=ÿ\left(t\right)=-A{\omega }^2\cdot sin\omega t;$

  Folgerung: \ddot{y}(t) = -\omega^2 \cdot y(t);$ÿ\left(t\right)=-{\omega }^2\cdot y\left(t\right);$

  a(t) = -\omega^2 \cdot y(t); \Rightarrow a(t) \sim y(t)$a\left(t\right)=-{\omega }^2\cdot y\left(t\right);\Rightarrow a\left(t\right)\sim y\left(t\right)$! (Direkte Proportionalität)

Bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigung proportional zur Auslenkung.

a(t) = -\omega^2 \cdot y(t);$a\left(t\right)=-{\omega }^2\cdot y\left(t\right);$

Nach Newton (F = ma$F=ma$)

F(t) = m a(t) = -m\omega^2 \cdot y(t);$F\left(t\right)=ma\left(t\right)=-m{\omega }^2\cdot y\left(t\right);$ (Rückstellkraft)

Federgesetz (Hooksches Gesetz): F = -Dy$F=-Dy$

⇒ Für Federn gilt: D = m\omega^2;$D=m{\omega }^2;$

\omega = \frac{2\pi}{T}; \Rightarrow D = m \frac{4\pi^2}{T^2}; \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};$\omega =\frac{2\pi }{T};\Rightarrow D=m\frac{4{\pi }^2}{T^2};\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};$ (Schwingungsdauer der Federschwingung)

Harmonische Schwingungen erkennt man an einem linearen Kraftgesetz, die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung.

[Überprüfung der Formel im Experiment (stimmt T$T$ der "Wirklichkeit" mit dem berechneten Wert überein?)]

[Antwort: Ja, natürlich. ;)]

0.0.1.4 ↑ Das Fadenpendel

Auslenkung: Bogenstück y$y$

y = \alpha l;$y=\alpha l;$

F_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{G}} \cdot \sin\alpha = mg \cdot \sin\alpha;$F_{\text{R}}=F_{\text{G}}\cdot sin\alpha =mg\cdot sin\alpha ;$ (Rückstellkraft)

\sin\alpha = \frac{F_{\mathrm{R}}}{{\mathrm{G}}}; \Rightarrow F_{\mathrm{R}} = mg \cdot \sin\frac{y}{l};$sin\alpha =\frac{F_{\text{R}}}{\text{G}};\Rightarrow F_{\text{R}}=mg\cdot sin\frac{y}{l};$ (Kein lineares Kraftgesetz!)

Aber: Für kleine Auslenkwinkel \alpha$\alpha$ gilt \sin\alpha \approx \alpha$sin\alpha \approx \alpha$.

⇒ Für kleine \alpha$\alpha$ gilt näherungsweise:

F_{\mathrm{R}} = mg \frac{y}{l};$F_{\text{R}}=mg\frac{y}{l};$ (Lineares Kraftgesetz)

(Spiralfeder: F_{\mathrm{R}} = Dy;$F_{\text{R}}=Dy;$)

F_{\mathrm{R}} = kg$F_{\text{R}}=kg$ mit k = \frac{mg}{l}$k=\frac{mg}{l}$ mit T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}};$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};$

⇒ Schwingungsdauer T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}};$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}};$