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Buch Seite 24, Aufgabe 7: Mutproben

a)

Hast du schon beim Turmspringen vom $3m$-, $5m$- und $10m$-Brett zugeschaut? Berechne für diese Höhendifferenzen, mit welcher Geschwindigkeit ein Springer der Masse $60kg$ unten ankommt. Welchen Einfluss hat die Sprungart (z.B. Hechtsprung) und die Elastizität des Absprungbrettes?

Die Reibung wurde in allen Berechnungen vernachlässigt.

Der Springer geht aufs $xm$-Brett. Seine potenzielle Energie erreicht dort Maximum, sie entspricht $W_{pot_{oben}}=m\cdot{}g\cdot{}h=60kg\cdot{}9,81\frac{N}{kg}\cdot{}x=588,6N\cdot{}x$. Seine kinetische Energie entspricht $W_{kin_{unten}}=0$, da er sich ja nicht bewegt.

Nun lässt sich der Springer ins Wasser fallen (Kerze), beim Sprung wird die potenzielle Energie in kinetische umgewandelt. Bei $h=0m$, also der Wasseroberfläche, erreicht sie ihr Maximum von $W_{kin_{unten}}=W_{pot_{oben}}=588,6N\cdot{}x$, die potenzielle Energie entspricht wieder 0.

Die Geschwindigkeit beträgt dann

$W_{kin_{unten}}=\frac{1}{2}\cdot{}m\cdot{}v^2$
$588,6N\cdot{}x=\frac{1}{2}\cdot{}60kg\cdot{}v^2$
$588,6N\cdot{}x\cdot{}2=60kg\cdot{}v^2$
$\frac{588,6N\cdot{}x\cdot{}2}{60kg}=v^2$
$19,62\frac{N}{kg}\cdot{}x=v^2$
$\sqrt{19,62\frac{N}{kg}\cdot{}x}=v$

Konkret bedeutet dies:

Die Sprungart (z.B. Hechtsprung) sowie die Elastizität des Sprungbrettes ändert die Höhe $h$.

b)

Du wagst den Sprung vom $10m$-Brett. Rechne dir vorher aus, wie schnell du nach den Fallhöhen $2m$, $4m$, $6m$, $8m$ und $10m$ sein wirst. Wenn du dafür unbedingt eine Masse benötigst, nimm deine eigene.

$W_{pot_{10}}=m\cdot{}g\cdot{}h=40kg\cdot{}9,81\frac{N}{kg}\cdot{}10m=3924Nm$, $W_{kin_x}=\frac{10m-x}{10m}\cdot{}W_{pot_{10}}$, $v=\sqrt{\frac{1}{20}\cdot{}W_{kin}}$

Die Masse kürzt sich raus $\Rightarrow$ Die Masse spielt für die Fallgeschwindigkeit keine Rolle; $v=\sqrt{2gh}$!

c)

Vielleicht hast du schon von "`Klippenspringern"' gehört. In einigen Urlaubsländern gibt es diese Touristenattraktionen. Berechne die Endgeschwindigkeit für $40m$ Fallhöhe, wobei du näherungsweise die Luftreibung vernachlässigst.

$W_{pot}=m\cdot{}g\cdot{}h=40kg\cdot{}9,81\frac{N}{kg}\cdot{}40m=15696J$,

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$W_{kin}=15696J$,
$v=28,01\frac{m}{s}$

d)

Für einen Crashtest sollen Schrottautos ($m=1100kg$) aus verschiedenen Höhen fallen gelassen werden. Welche Höhen simulieren einen Crash mit $30\frac{km}{h}$, $50\frac{km}{h}$ und $100\frac{km}{h}$?

$W_{pot}=1100kg\cdot{}9,81\frac{N}{kg}\cdot{}x=10791N\cdot{}x$,
$W_{kin}=10791N\cdot{}x$,
$v=\sqrt{\frac{1}{500kg}\cdot{}W_{kin}}$

Nun muss man nur noch die Gleichung $v=\sqrt{\frac{1}{500kg}\cdot{}10791N\cdot{}x}$ nach $x$ auflösen, um die Ergebnisse zu erhalten:

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