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Buch Seite 25, Aufgabe 8: Achterbahn - immer höher - immer schneller

a)

Bei einer Achterbahn lässt sich oft die Höhe abschätzen. Die Metallkonstruktion ist aus gleichen Elementen aufgebaut, unten kannst du die Höhe eines Elements mit der eigenen Körpergröße vergleichen. Welche maximale Geschwindigkeit ist bei einer Starthöhe von $40m$ zu erwarten? Spielt dabei die Masse des Wagens und die Anzahl der mitfahrenden Personen eine Rolle?

$W_{pot}=m\cdot{}g\cdot{}h=m\cdot{}9,81\frac{N}{kg}\cdot{}40m=m\cdot{}392,4Nm$,
$W_{kin}=m\cdot{}392,4Nm$.

Berechnung von $v$:
$W_{kin}=\frac{m\cdot{}v^2}{2}$
$\frac{2\cdot{}W_{kin}}{m}=v^2$
$\frac{2\cdot{}m\cdot{}392,4J}{m}=v^2$
$784,8J=v^2$
$28,01\frac{m}{s}=v$

Die Masse des Wagens ist, wenn man die Reibung vernachlässigt, egal. Bezieht man die Reibung ein, so ist auch die Form des Wagens und der mitfahrenden Personen relevant.

b)

Aufgrund von Reibungseffekten beträgt die Geschwindigkeit "`nur"' $26\frac{m}{s}$. Berechne den Energieverlust in Prozent.

$\frac{W_{kin_{oR}}-W_{kin_{mR}}}{W_{kin_{oR}}}=0,0717=7,17\%$

c)

Gleich im Anschluss an die erste tiefste Stelle folgt ein großer Looping mit einem Radius von $10m$. An seiner höchsten Stelle muss die Geschwindigkeit mindestens $10\frac{m}{s}$ betragen, sonst würde der Wagen ohne Sicherheitsvorkehrungen abstürzen. Ist die Bedingung erfüllt?

$W_{kin_{Looping}}=\frac{20m}{40m}\cdot{}W_{pot}=m\cdot{}192,2Nm$

Berechnung von $v$ (Lösungsweg siehe oben): $v=\sqrt{392,4Nm}=19,80\frac{m}{s}$ $\Rightarrow$ Die Bedingung ist erfüllt!

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