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7. Hausaufgabe

• 7. Hausaufgabe: Algebra Buch, Seite 20, Aufgabe 6a:
  Gib die ersten fünf Intervalle einer Intervallschachelung für $\sqrt{3}$ an!
  
  $\left[1;2\right]$
  $\left[1,7;1,8\right]$
  $\left[1,73;1,74\right]$
  $\left[1,732;1,733\right]$
  $\left[1,7320;1,7321\right]$
  
• Hausaufgabe: Algebra Buch, Seite 20, Aufgabe 7:

  b)

  Wandle folgende Brüche in Dezimalbrüche um:

  • $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$
  • $\frac{17}{50}=\frac{34}{100}=0,34$

  c)

  Wandle folgende Dezimalbrüche in Brüche um:

  • $0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
  • $0,55=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}$

• Hausaufgabe: Algebra Buch, Seite 20, Aufgabe 4:
  Bilden die folgenden Intervalle den Begin einer Intervallschachtelung, wenn man sie sinngemäß fortsetzt?

  a)

  $\left[0,4;0,7\right]$
  $\left[0,49;0,61\right]$
  $\left[0,499;0,601\right]$
  $\left[0,4999;0,6001\right]$
  

  Dieses Intervall beginnt keine Intervallschachtelung, da $\left[5;6\right]$ dazwischen liegt.

  b)

  $\left[2;3\right]$
  $\left[2,31;2,32\right]$
  $\left[2,3131;2,3132\right]$
  $\left[2,313131;2,313132\right]$
  

  Dieses Intervall beginnt eine Intervallschachtelung, da nur eine Zahl dazwischen liegt: Die $2\frac{31}{99}$.

• Hausaufgabe:
  Beweise, dass $\sqrt{7}$ eine irrationale Zahl ist!

  Es gilt: $x^2=7$
  $2<x<3$ $\Rightarrow$ $x \notin \mathds{Z}$
  Annahme: $x\in\mathds{Q}$: $x=\frac{p}{q}$, wobei $p\in\mathds{Z}$ und $q\in\mathds{N}$, $p$,$q$ teilerfremd und $q\neq1$.

  $x$ ist die Lösung von $x^2=7$
  $(\frac{p}{q})^2=7$
  $\frac{p\cdot{}p}{q\cdot{}q}=7$ stimmt nicht!

  Ergebnis:

  $x^2=7$ is in $\mathds{Q}$ nicht lösbar, deshalb muss $\sqrt{7}$ eine irrationale Zahl sein.

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