«11C» Eigenschaften von intervallweise stetigen Funktionen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Eigenschaften von intervallweise stetigen Funktionen

0.0.1.1 ↑ Extremwertsatz

Ist \mathrm{f}$\text{f}$ im abgeschlossenen Intervall \left[a, b\right]$\left[a,b\right]$ stetig, so ist \mathrm{f}$\text{f}$ dort beschränkt und besitzt ein absolutes Maximum und Minimum.

0.0.1.2 ↑ Zwischenwertsatz

Ist \mathrm{f}$\text{f}$ im abgeschlossenen Intervall \left[a, b\right]$\left[a,b\right]$ stetig und ist \mathrm{f}(a) \neq \mathrm{f}(b)$\text{f}\left(a\right)\ne \text{f}\left(b\right)$, so nimmt die Funktion jeden Zwischenwert y_0$y_0$ zwischen \mathrm{f}(a)$\text{f}\left(a\right)$ und \mathrm{f}(b)$\text{f}\left(b\right)$ mindestens einmal an. D.h., es gibt zu jedem y_0 \in \left[\mathrm{f}(a), \mathrm{f}(b)\right]$y_0\in \left[\text{f}\left(a\right),\text{f}\left(b\right)\right]$ mindestens ein x_0 \in \left[a, b\right]$x_0\in \left[a,b\right]$ mit \mathrm{f}(x_0) = y_0$\text{f}\left(x_0\right)=y_0$.

"Von \mathrm{f}$\text{f}$ wird kein Wert zwischen \mathrm{f}(a)$\text{f}\left(a\right)$ und \mathrm{f}(b)$\text{f}\left(b\right)$ ausgelassen."

0.0.1.3 ↑ Nullstellensatz

Ist \mathrm{f}$\text{f}$ in \left[a, b\right]$\left[a,b\right]$ stetig und sind die Vorzeichen von \mathrm{f}(a)$\text{f}\left(a\right)$ und \mathrm{f}(b)$\text{f}\left(b\right)$ verschieden, so gibt es in \left[a, b\right]$\left[a,b\right]$ mindestens eine Nullstelle x_0$x_0$ mit \mathrm{f}(x_0) = 0$\text{f}\left(x_0\right)=0$.

0.0.1.4 ↑ Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ist \mathrm{f}$\text{f}$ im abgeschlossenen Intervall \left[a, b\right]$\left[a,b\right]$ stetig und im offenen Intervall \left]a, b\right[$\left]a,b\right[$ diffbar, so gibt es mindestens eine Stelle x_0 \in \left]a, b\right[$x_0\in \left]a,b\right[$, für die gilt: \mathrm{f}'(x_0) = \dfrac{\mathrm{f}(b) - \mathrm{f}(a)}{b - a};${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{\text{f}\left(b\right)-\text{f}\left(a\right)}{b-a};$

Geometrische Deutung: Es gibt in \left]a, b\right[$\left]a,b\right[$ eine Stelle x_0$x_0$, an der die Tangente an G_{\mathrm{f}}$G_{\text{f}}$ parallel ist zur Sekante (a, \mathrm{f}(a))$\left(a,\text{f}\left(a\right)\right)$ und (b, \mathrm{f}(b))$\left(b,\text{f}\left(b\right)\right)$.

Anwendung zur linearen Approximation:

Sei I = \left[x_0, x_0 + h\right]$I=\left[x_0,x_0+h\right]$. Dann gilt mit d \in \left] 0, 1\right[$d\in \left]0,1\right[$: \\\mathrm{f}'(x_0 + d \cdot h) = \dfrac{\mathrm{f}(x_0 + h) - \mathrm{f}(x_0)}{x_0 + h - x_0}; \Rightarrow \\ \mathrm{f}(x_0 + h) = \mathrm{f}(x_0) + h \cdot \mathrm{f}'(x_0 + d \cdot h); \Rightarrow \\ \mathrm{f}(x_0 + h) \approx \mathrm{f}(x_0) + h \cdot \mathrm{f}'(x_0);${\text{f}}^{\prime }\left(x_0+d\cdot h\right)=\frac{\text{f}\left(x_0+h\right)-\text{f}\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0};\Rightarrow \text{f}\left(x_0+h\right)=\text{f}\left(x_0\right)+h\cdot {\text{f}}^{\prime }\left(x_0+d\cdot h\right);\Rightarrow \text{f}\left(x_0+h\right)\approx \text{f}\left(x_0\right)+h\cdot {\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right);$