«11C» Grenzwerte «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Grenzwerte

0.0.1.1 ↑ Grenzwerte von Funktionen für \left|x\right| \to \infty$\left|x\right|\to \infty$

Allgemein: f(x)$f\left(x\right)$ hat für x \to \infty$x\to \infty$ den Grenzwert 0$0$, wenn \left|x\right|$\left|x\right|$ jede noch so kleine positive Zahl (meist stellvertretend mit \varepsilon$\varepsilon$ bezeichnet) unterschreitet, wenn man nur x$x$ genügen groß macht.

x_s$x_s$ bezeichnet man auch als "Schwellenwert".

f(x)$f\left(x\right)$ hat für x \to -\infty$x\to -\infty$ den Grenzwert 0$0$, wenn es zu jedem noch so kleinen positiven \varepsilon$\varepsilon$ einen Schwellenwert x_s$x_s$ gibt, so dass für alle x < x_s$x<x_s$ gilt: \left|f(x)\right| < \varepsilon;$\left|f\left(x\right)\right|<\varepsilon ;$

Def.: f(x)$f\left(x\right)$ hat für x\to\infty$x\to \infty$ (x\to-\infty$x\to -\infty$) den Grenzwert a$a$, wenn es zu jedem noch so kleinen positiven \varepsilon$\varepsilon$ einen Schwellenwert x_s$x_s$ gibt, so dass für alle x > x_s$x>x_s$ (x < x_s$x<x_s$) gilt: \left|f(x) - a\right| < \varepsilon;$\left|f\left(x\right)-a\right|<\varepsilon ;$

\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{a}{x^n} = 0; \qquad a \in \mathds{R}; n \in \mathds{N};$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{a}{x^n}=0;a\in R;n\in N;$

0.0.1.2 ↑ Regeln für Grenzwerte

Sind f$f$ und g$g$ Funktionen mit \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = a$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=a$ und \lim\limits_{x\to\infty} g(x) = b$\underset{x\to \infty }{lim}g\left(x\right)=b$, dann gilt:

1. \lim\limits_{x\to\infty}(f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \pm \lim\limits_{x\to\infty} g(x) = a \pm b;$\underset{x\to \infty }{lim}\left(f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)\pm \underset{x\to \infty }{lim}g\left(x\right)=a\pm b;$

2. \lim\limits_{x\to\infty}(f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to\infty} g(x) = a \cdot b;$\underset{x\to \infty }{lim}\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to \infty }{lim}g\left(x\right)=a\cdot b;$

3. \lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to\infty} f(x)}{\lim\limits_{x\to\infty} g(x)} = \frac{a}{b}; \qquad b \neq 0; \qquad g(x) \neq 0 \text{ f"ur "`hinreichend"' gro"se }x;$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)}{\underset{x\to \infty }{lim}g\left(x\right)}=\frac{a}{b};b\ne 0;g\left(x\right)\ne 0\text{ f”ur ”‘hinreichend”’ gro”se }x;$

Zusatz für Funktionen mit bestimmter Divergenz:

Aus f(x) \to \infty$f\left(x\right)\to \infty$ für x \to \infty$x\to \infty$ folgt: \lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{f(x)} = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{f\left(x\right)}=0;$

Analoge Sätze gelten für x \to -\infty$x\to -\infty$.

Es gibt drei Fälle bei gebrochen rationalen Funktionen:

• Zählergrad < Nennergrad ⇒ \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=0;$

• Zählergrad = Nennergrad ⇒ f$f$ ist konvergent;

• Zählergrad > Nennergrad ⇒ f$f$ ist divergent;

0.0.1.3 ↑ Schrankenfunktion (Majoranten)

Beispiel: f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sin x;$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot sinx;$

Vermutung: \lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=0;$

\left|f(x)\right| = \left|\frac{1}{x}\cdot\sin x\right| = \frac{1}{2} \cdot \left|\sin x\right| \leq \frac{1}{x} \to 0$\left|f\left(x\right)\right|=\left|\frac{1}{x}\cdot sinx\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|sinx\right|\le \frac{1}{x}\to 0$ für x \to \infty;$x\to \infty ;$

⇒ f(x) \to 0$f\left(x\right)\to 0$ für x \to \infty$x\to \infty$; (\frac{1}{x}$\frac{1}{x}$ ist Majorante für \left|f(x)\right|$\left|f\left(x\right)\right|$.)

f$f$ hat für x \to \infty$x\to \infty$ die Asymptote y = g(x)$y=g\left(x\right)$, wenn gilt: \lim\limits_{x\to\infty}(f(x) - g(x)) = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=0;$

0.0.1.4 ↑ Grenzwerte von Zahlenfolgen

Allgemein gilt: Die geometrische Folge a_\nu = a \cdot q^{\nu - 1}$a_{\nu }=a\cdot q^{\nu -1}$ ist für \left|q\right| < 1$\left|q\right|<1$ konvergent mit dem Grenzwert Null.

0.0.1.5 ↑ Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe

\lim\limits_{n\to\infty} s_n = \lim\limits_{n\to\infty} a\frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{a}{q - 1} \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\left(q^n - 1\right) = \frac{a}{1 - q}; \qquad \text{f"ur} \left|q\right| < 1;$\underset{n\to \infty }{lim}{s}_n=\underset{n\to \infty }{lim}a\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{a}{q-1}\cdot \underset{n\to \infty }{lim}\left(q^n-1\right)=\frac{a}{1-q};\text{f”ur}\left|q\right|<1;$

Ergebnis: Für \left|q\right| < 1$\left|q\right|<1$ hat die geometrische Reihe s_n = \sum\limits_{\nu = 1}^n aq^{\nu - 1}$s_n=\sum _{\nu =1}^{n}a{q}^{\nu -1}$ für n \to \infty$n\to \infty$ den Grenzwert \frac{a}{1 - q}$\frac{a}{1-q}$.

0.0.1.6 ↑ Grenzwert bei Funktionen für x \to x_0$x\to x_0$

Def.: f$f$ hat für x \to x_0$x\to x_0$ den Grenzwert a$a$, wenn f$f$ in einer Umgebung von x_0$x_0$ definiert ist und wenn gilt: \left|f(x) - a\right| < \varepsilon$\left|f\left(x\right)-a\right|<\varepsilon$ (mit \varepsilon > 0$\varepsilon >0$) falls nur x$x$ "genügend" nahe bei x_0$x_0$ gewählt wird.

Schreibweise: \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a;$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=a;$

Methoden zur Berechnung:

"Kürzen"

\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2}(x + 1) = 2 + 1 = 3;$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-x-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\left(x+1\right)=2+1=3;$

"h$h$-Methode"

Untersuchung in der "Nähe" von x_0$x_0$ durch die Substitution x = x_0 \pm h$x=x_0\pm h$ (mit h > 0$h>0$).

Im Beispiel: \lim\limits_{x \to 2+} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim\limits_{h\to0} \frac{4 + 4h + h^2 - 2 - h - 2}{h} = \lim\limits_{h\to0} \frac{3h + h^2}{h} = \lim\limits_{h\to0}(3 + h) = 3 + 0 = 3;$\underset{x\to 2+}{lim}\frac{x^2-x-2}{x-2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{4+4h+h^2-2-h-2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{3h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\left(3+h\right)=3+0=3;$

Zusammenfassung: Beim \lim\limits_{x\to{}x_0} f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

x_0 \in D_f$x_0\in D_f$

a)

\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right);$

Grenzwert existiert nicht, Divergenz, Sprungstelle

b)

\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x) \neq f(x_0);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x_0\right);$

Grenzwert existiert (Konvergenz), f$f$ ist an der Stelle x_0$x_0$ nicht stetig.

c)

\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x) = f(x_0);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right);$

Grenzwert existiert, f$f$ ist an der Stelle x_0$x_0$ stetig.

x_0 \notin D_f$x_0\notin D_f$

a)

\left|f(x)\right| \to \infty$\left|f\left(x\right)\right|\to \infty$ für x \to x_0+$x\to x_0+$ oder x \to x_0-;$x\to x_0-;$

Unendlichkeitsstelle (mit bzw. ohne VZW), Divergenz

b)

\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right);$

Konvergenz, "Lochstelle" (stetig ergänzbare Definitionslücke)

c)

\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right);$ (aber beide Grenzwerte endlich)

Divergenz, gelochte Sprungstelle

Ergänzungen:

• Eine Funktion f$f$ ist an der Stelle x_0 \in D_f$x_0\in D_f$ stetig, wenn gilt:

  \lim\limits_{x\to{}x_0-} = \lim\limits_{x\to{}x_0+} = f(x_0);$\underset{x\to x_0-}{lim}=\underset{x\to x_0+}{lim}=f\left(x_0\right);$

• Für die Grenzwerte x \to x_0$x\to x_0$ gelten die bekannten Grenzwertsätze in analoger Weise.