«11C» 1. Ex «PDF», «POD»

0.1 ↑ Tests

0.1.1 ↑ 1. Extemporale aus der Mathematik

Geschrieben am 12.10.2004.

Ein Wagen hat zur Zeit t = 0$t=0$ die Geschwindigkeit v_0 = 4,\!8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$v_0=4,8\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Er wird zunächst 4,\!0\mathrm{s}$4,0\text{s}$ lang mit a_1 = 0,\!60 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$a_1=0,60\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ beschleunigt, anschließend erfolgt eine ebenfalls 4,\!0\mathrm{s}$4,0\text{s}$ lange Abbremsung mit a_2 = -1,\!6 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$a_2=-1,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

a)

Berechne die Geschwindigkeit des Wagens nach 4\mathrm{s}$4\text{s}$ und nach 8\mathrm{s}$8\text{s}$.

v_1 = v(4\mathrm{s}) = v_0 + a_1t_1 - 4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 0,\!6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 4\mathrm{s} = 8,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$v_1=v\left(4\text{s}\right)=v_0+a_1{t}_1-4,8\frac{\text{m}}{\text{s}}+0,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4\text{s}=8,8\frac{\text{m}}{\text{s}};$

v_2 = v(8\mathrm{s}) = v_1 + a_2t_2 = 7,\!2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} - 1,\!6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 4\mathrm{s} = 0,80\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$v_2=v\left(8\text{s}\right)=v_1+a_2{t}_2=7,2\frac{\text{m}}{\text{s}}-1,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4\text{s}=0,80\frac{\text{m}}{\text{s}};$

b)

Welchen Weg x_1$x_1$ legt der Wagen in den ersten 4$4$ Sekunden, welchen Weg x_{14}$x_{14}$ allein in der 4. Sekunde zurück?

x_1 = v_0t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 = 4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 4\mathrm{s} + 0,\!3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 16\mathrm{s}^2 = 24\mathrm{m};$x_1=v_0{t}_1+\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2=4,8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 4\text{s}+0,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 16{\text{s}}^2=24\text{m};$

x(3\mathrm{s}) = v_0\cdot3\mathrm{s} + \frac{1}{2}a_1\cdot\left(3\mathrm{s}\right)^2 = 4,\!8\cdot3\mathrm{m} + 0,\!3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 9\mathrm{s}^2 = 17,\!1m;$x\left(3\text{s}\right)=v_0\cdot 3\text{s}+\frac{1}{2}{a}_1\cdot {\left(3\text{s}\right)}^2=4,8\cdot 3\text{m}+0,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 9{\text{s}}^2=17,1m;$

⇒ x_{14} = x_1 - x(3\mathrm{s}) = 6,\!9m;$x_{14}=x_1-x\left(3\text{s}\right)=6,9m;$

c)

Berechne die mittlere Geschwindigkeit \overline{v}$\overline{v}$ des Wagens für die 8\mathrm{s}$8\text{s}$ lange Fahrt.

x_2 = v_1\cdot{}t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 = 7,\!2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 4\mathrm{s} - 0,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + 16\mathrm{s}^2 = 16\mathrm{m};$x_2=v_1\cdot t_2+\frac{1}{2}{a}_2{t}_2^2=7,2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 4\text{s}-0,8\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+16{\text{s}}^2=16\text{m};$

\overline{v} = \frac{x_1 + x_2}{t_1 + t_2} = \frac{40\mathrm{m}}{8\mathrm{s}} = 5,\!0\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$\overline{v}=\frac{x_1+x_2}{t_1+t_2}=\frac{40\text{m}}{8\text{s}}=5,0\frac{\text{m}}{\text{s}};$

d)

Welche Geschwindigkeit hat der Wagen erreicht, wenn er 12\mathrm{m}$12\text{m}$ zurückgelegt hat? Wie lange hat er dafür gebraucht?

v^2 - v_0^2 = 2a_1x; \Longrightarrow v^2 = 2a_1x + v_0^2 = 1,\!2\mathrm{s}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 12\mathrm{m} + \left(4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2; \Longrightarrow v = 6,\!\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$v^2-v_0^2=2a_{1}x;\Rightarrow v^2=2a_{1}x+v_0^2=1,2\text{s}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 12\text{m}+{\left(4,8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2;\Rightarrow v=6,\frac{\text{m}}{\text{s}};$

a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t}; \Longrightarrow \Delta t = \frac{\Delta v}{a_1} = \frac{6,\!\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} - 4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,60\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} = 2,\!2\mathrm{s};$a_1=\frac{\Delta v}{\Delta t};\Rightarrow \Delta t=\frac{\Delta v}{a_1}=\frac{6,\frac{\text{m}}{\text{s}}-4,8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,60\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=2,2\text{s};$

Ansätze stets mit Formeln, Formeln zunächst allgemein auflösen!