«K12/K13» Determinanten «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Determinanten

0.0.1.1 ↑ 3x3-Determinanten

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = \underbrace{+}_{\left(-1\right)^{1+1}} a_{11} \begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} \underbrace{-}_{\left(-1\right)^{2+1}} a_{21} \begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} \underbrace{+}_{\left(-1\right)^{3+1}} a_{31} \begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}\!;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \end{array}\right|=\underset{{\left(-1\right)}^{1+1}}{\underbrace{+}}{a}_{11}\left|\begin{array}{cc}\hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \end{array}\right|\underset{{\left(-1\right)}^{2+1}}{\underbrace{-}}{a}_{21}\left|\begin{array}{cc}\hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \end{array}\right|\underset{{\left(-1\right)}^{3+1}}{\underbrace{+}}{a}_{31}\left|\begin{array}{cc}\hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \end{array}\right|;$

\begin{array}{rcrcrcl} {} a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1; \\ {} a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2; \\ {} a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3; \end{array}$\begin{array}{ccccccc}\hfill a_{11}{x}_1& \hfill +\hfill & \hfill a_{12}{x}_2& \hfill +\hfill & \hfill a_{13}{x}_3& \hfill =\hfill & b_1;\hfill \\ \hfill a_{21}{x}_1& \hfill +\hfill & \hfill a_{22}{x}_2& \hfill +\hfill & \hfill a_{23}{x}_3& \hfill =\hfill & b_2;\hfill \\ \hfill a_{31}{x}_1& \hfill +\hfill & \hfill a_{32}{x}_2& \hfill +\hfill & \hfill a_{33}{x}_3& \hfill =\hfill & b_3;\hfill \end{array}$

[Dieses Gleichungssystem] hat genau eine Lösung. ⇔

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \end{array}\right|\ne 0;$ (Regel von Cramer)

Speziell: b_1 = b_2 = b_3 = 0;$b_1=b_2=b_3=0;$

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} \neq 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \end{array}\right|\ne 0;$ ⇔ [das System] hat nur die Lösung (0, 0, 0)$\left(0,0,0\right)$.

Folgerung: \vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{smallmatrix}\!\right)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$, \vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{smallmatrix}\!\right)$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$, \vec c = \left(\!\begin{smallmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{smallmatrix}\!\right)$\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)$ sind komplanar. ⇔

\lambda_1 \vec a + \lambda_2 \vec b + \lambda_3 \vec c = 0; \quad \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \neq 0;${\lambda }_1\overrightarrow{a}+{\lambda }_2\overrightarrow{b}+{\lambda }_3\overrightarrow{c}=0;{\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2\ne 0;$ ⇔

\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1\hfill & \hfill b_1\hfill & \hfill c_1\hfill \\ \hfill a_2\hfill & \hfill b_2\hfill & \hfill c_2\hfill \\ \hfill a_3\hfill & \hfill b_3\hfill & \hfill c_3\hfill \end{array}\right|=0;$

0.0.1.1.1 ↑ Anwendung[en]

• [Umrechnung der] Parameterform [einer] Ebene [in die] Koordinatenform

  [E{:}\, \vec X = \vec A + \lambda \vec u + \mu \vec v;$E:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v};$

  \left(\!\begin{smallmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{smallmatrix}\!\right)$\left(\begin{array}{c}{x}_1-a_1\\ x_2-a_2\\ x_3-a_3\end{array}\right)$, \vec u$\overrightarrow{u}$, \vec v$\overrightarrow{v}$ sind komplanar.

  \begin{vmatrix}x_1-a_1&u_1&v_1\\x_2-a_2&u_2&v_2\\x_3-a_3&u_3&v_3\end{vmatrix} = 0$\left|\begin{array}{ccc}\hfill x_1-a_1\hfill & \hfill u_1\hfill & \hfill v_1\hfill \\ \hfill x_2-a_2\hfill & \hfill u_2\hfill & \hfill v_2\hfill \\ \hfill x_3-a_3\hfill & \hfill u_3\hfill & \hfill v_3\hfill \end{array}\right|=0$ ist dann die Koordinatenform.]

• [Umrechnung der] Koordinatenform [einer] Ebene [in die] Parameterform

  a)

  x_2 = \lambda; \quad x_3 = \mu;$x_2=\lambda ;x_3=\mu ;$

  x_1 = \text{[Auflösung der Koordinatenform nach }x_1\text{]};$x_1=\text{[Auflsung der Koordinatenform nach }{x}_1\text{]};$

  \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\dots \\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}\dots \\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}\dots \\ 0\\ 1\end{array}\right);$

  b)

  Bestimme A, B, C \in E$A,B,C\in E$, die nicht auf einer Geraden liegen.