0.0.1 ↑ Vektoren
0.0.1.1 ↑ Lineare Abhängigkeit
Die Vektoren \vec a_1, \vec a_2, ..., \vec a_n (n \in \mathds{N}) heißen linear unabhängig. ⇔
Aus \lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \cdots + \lambda_n \vec a_n = \vec 0;
folgt: \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0;
(D.h. mit \vec a_1, \vec a_2, ... \vec a_n lässt sich nur die triviale Nullsumme bilden.)
[Speziell für] n = 2: \left\{ \vec a_1, \vec a_2 \right\} [ist] linear unabhängig. ⇔ \vec a_1, \vec a_2 nicht kollinear.
[Ist bereits ein Nullvektor in einer Menge, die man auf lineare Abhängigkeit überprüft, so ist die Menge linear abhängig. (Vgl. mit Multiplikation mit 0!)]
0.0.1.2 ↑ Basis eines Vektorraums [siehe B. S. 126]
\vec b_1, \vec b_2, ..., \vec b_n sei Basis von V und v \in V.
Dann existiert ein eindeutiges n-Tupel (v_1, v_2, \ldots, v_n) [die Koordinaten] mit:
\vec v = v_1 \vec b_1 + v_2 \vec b_2 + \cdots v_n \vec b_n; [wobei die v_i \vec b_i Komponenten sind.]
0.0.1.2.1 ↑ [Beweis der Koordinateneindeutigkeit]
Annahme: Es existiert ein weiteres n-Tupel (v_1', v_2', \ldots, v_n') mit dieser Eigenschaft.
\vec v = v_1' \vec b_1 + v_2' \vec b_2 + \cdots v_n' \vec b_n;
\vec 0 = \left(v_1 - v_1'\right) \vec b_1 + \left(v_2 - v_2'\right) \vec b_2 + \cdots \left(v_n - v_n'\right) \vec b_n;
Aufgrund der linearen Unabhängigkeit von \left\{ b_1, b_2, \ldots, b_n \right\} folgt: v_i - v_i' = 0, also v_i = v_i'.
0.0.1.3 ↑ Das Skalarprodukt
\vec a \cdot \vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\end{smallmatrix}\!\right) \cdot \left(\!\begin{smallmatrix}b_1\\b_2\end{smallmatrix}\!\right) := a_1 b_1 + a_2 b_2;
Zwei Vektoren [die beide nicht der Nullvektor sind] stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
0.0.1.3.2 ↑ Wie lässt sich aus den Koordinaten zweier Vektoren der Winkel zwischen ihnen berechnen?
\vec a \vec b = \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;
\left|\vec a - \vec b\right|^2 = \left|\vec a\right|^2 + \left|\vec b\right|^2 - 2 \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;
\left(\vec a - \vec b\right)^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2 \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;
\vec a^2 - 2 \vec a \vec b + \vec b^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2 \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;
\frac{\vec a \vec b}{\left|\vec a\right| \left|\vec b\right|} = \cos \varphi;
0.0.1.4 ↑ Vektorprodukt
Definition: vgl. B. S. 238
Was ist \vec a \times \vec b, wenn \vec a und \vec b kollinear sind?
[Kollinearität zweier Vektoren, die beide nicht der Nullvektor sind ⇔ \vec a \times \vec b = \vec 0;]
Geometrische Eigenschaften: vgl. B. S. 240
\left|\vec a \times \vec b\right| = \left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right| \sin \angle(\vec a,\vec b);
Rechenregeln:
\vec a \times \vec b = -\vec b \times \vec a;
\vec a \times \left(\vec b + \vec c\right) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c;
\lambda \cdot \left(\vec a \times \vec b\right) = \lambda \vec a \times \vec b = \vec a \times \lambda \vec b;
Spatvolumen: \left|\left(\vec a \times \vec b\right) \cdot \vec c\right| = \left|\vec a \cdot \left(\vec b \times \vec c\right)\right|;
[Für \left|\vec n\right| = 1 gilt: \vec a \cdot \vec n = \left|\vec a\right| \underbrace{\left|\vec n\right|}_1 \cdot \cos \angle(\vec a,\vec n) = \left|\vec a\right| \cos \angle(\vec a,\vec n) = \vec n_{\vec a};]