«K12/K13» 100. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 100. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 216, Aufgabe 11

Berechne den Winkel zwischen

a)

einer Raumdiagonale und einer Kante eines Würfels.

\vec E = \left(\!\begin{smallmatrix}a\\a\\a\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{E}=\left(\begin{array}{c}a\\ a\\ a\end{array}\right);$

\vec K = \left(\!\begin{smallmatrix}a\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{K}=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 0\end{array}\right);$

{} \dfrac{\vec E \vec K}{\left|\vec E\right| \left|\vec K\right|} = {} \dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2} \sqrt{a^2}} = {} \dfrac{a^2}{\sqrt{3} a^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = {} \cos\varphi; $\frac{\overrightarrow{E}\overrightarrow{K}}{\left|\overrightarrow{E}\right|\left|\overrightarrow{K}\right|}=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}\sqrt{a^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{3}{a}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=cos\varphi ;$

\varphi \approx 54{,}7^\circ;$\varphi \approx 54,7^{\circ };$

b)

zwei Raumdiagonalen eines Würfels,

\vec E_1 = \left(\!\begin{smallmatrix}a\\-a\\a\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{E}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ -a\\ a\end{array}\right);$

\vec E_2 = \left(\!\begin{smallmatrix}-a\\-a\\a\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{E}}_2=\left(\begin{array}{c}-a\\ -a\\ a\end{array}\right);$

{} \dfrac{\vec E_1 \vec E_2}{\left|\vec E_1\right| \left|\vec E_2\right|} = {} \dfrac{3 a^2}{\sqrt{3 a^2} \sqrt{3 a^2}} = {} 1 = \cos\varphi;$\frac{{\overrightarrow{E}}_1{\overrightarrow{E}}_2}{\left|{\overrightarrow{E}}_1\right|\left|{\overrightarrow{E}}_2\right|}=\frac{3a^2}{\sqrt{3a^2}\sqrt{3a^2}}=1=cos\varphi ;$

⇔ \varphi = 0^\circ;$\varphi =0^{\circ };$

Falsch! Richtig: \varphi \approx 71^\circ;$\varphi \approx 71^{\circ };$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 216, Aufgabe 13

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-4\\0\end{smallmatrix}\!\right);$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right);$

h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-\sqrt{3}\\5\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-2\\1\end{smallmatrix}\!\right);$h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ -\sqrt{3}\\ 5\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right);$

Berechne den Winkel zwischen g$g$ und h$h$.

{} \left|\dfrac{\vec g \vec h}{\left|\vec g\right| \left|\vec h\right|}\right| = {} \left|\dfrac{6 + 8}{\sqrt{9 + 16} \sqrt{4 + 4 + 1}}\right| = {} \left|\dfrac{14}{5 \cdot 3}\right| = \left|\frac{14}{15}\right| = \cos\varphi; $\left|\frac{\overrightarrow{g}\overrightarrow{h}}{\left|\overrightarrow{g}\right|\left|\overrightarrow{h}\right|}\right|=\left|\frac{6+8}{\sqrt{9+16}\sqrt{4+4+1}}\right|=\left|\frac{14}{5\cdot 3}\right|=\left|\frac{14}{15}\right|=cos\varphi ;$

\varphi \approx 21^\circ;$\varphi \approx 21^{\circ };$

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 217, Aufgabe 17

\vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\1\\-1\end{smallmatrix}\!\right); \quad \vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right);$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -1\end{array}\right);\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right);$

a)

Bestimme \vec a_b${\overrightarrow{a}}_b$, die Projektion von \vec b$\overrightarrow{b}$ in Richtung \vec a$\overrightarrow{a}$.

\cos\varphi = \frac{5 - 1 - 1}{\sqrt{25 + 1 + 1} \sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};$cos\varphi =\frac{5-1-1}{\sqrt{25+1+1}\sqrt{1+1+1}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$

\vec a_b = \left|\vec b\right| \cos\varphi \cdot \vec a^0 = {}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\vec a}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3} \frac{1}{3} \vec a = \frac{1}{9} \vec a;${\overrightarrow{a}}_b=\left|\overrightarrow{b}\right|cos\varphi \cdot {\overrightarrow{a}}^0=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{\sqrt{27}}=\frac{1}{3}\frac{1}{3}\overrightarrow{a}=\frac{1}{9}\overrightarrow{a};$

b)

Bestimme \vec b_a${\overrightarrow{b}}_a$, die Projektion von \vec a$\overrightarrow{a}$ in Richtung \vec b$\overrightarrow{b}$.

\vec b_a = \left|\vec a\right| \cos\varphi \cdot \vec b^0 = {}\sqrt{27} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\vec b}{\sqrt{3}} = \vec b;${\overrightarrow{b}}_a=\left|\overrightarrow{a}\right|cos\varphi \cdot {\overrightarrow{b}}^0=\sqrt{27}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{\sqrt{3}}=\overrightarrow{b};$

c)

Welche Besonderheit haben \vec a$\overrightarrow{a}$ und \vec b$\overrightarrow{b}$, wenn gilt \vec b_a = \vec b${\overrightarrow{b}}_a=\overrightarrow{b}$?

\vec b_a \stackrel{!}{=} b;${\overrightarrow{b}}_a\stackrel{!}{=}b;$ (Formel von d)) bringt:

\vec a \vec b \stackrel{!}{=} \vec b \vec b;$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\stackrel{!}{=}\overrightarrow{b}\overrightarrow{b};$

•       ^

•      /.

•    b/ .

•    /  .

•   /   .

•  ----->

•     a

d)

Zeige allgemein: \vec a_b = \frac{\vec a \vec b}{\left|a\right|^2} \cdot \vec a;${\overrightarrow{a}}_b=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{{\left|a\right|}^2}\cdot \overrightarrow{a};$

\vec a_b = \left|\vec b\right| \cos\varphi \cdot \vec a^0 = \left|\vec b\right| \cdot \frac{\vec a \vec b}{\left|\vec a\right| \left|\vec b\right|} \cdot \frac{\vec a}{\left|\vec a\right|} = \frac{\vec a \vec b}{\left|\vec a\right|^2} \cdot \vec a;${\overrightarrow{a}}_b=\left|\overrightarrow{b}\right|cos\varphi \cdot {\overrightarrow{a}}^0=\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}\cdot \frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}\cdot \overrightarrow{a};$

"Theologie ist der Versuch, Axiome auf einem Gebiet aufzustellen, auf dem es keine Axiome gibt bzw. auf dem Axiome nicht sinnvoll sind"

"Das Schöne an der Mathematik ist, dass sie mit der Realität nichts zu tun hat."