«K12/K13» 107. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 107. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 12

A(29,-5,-4); \quad B(-3,-27,12); \quad M(16,11,-8); \quad P(4,8,19); \quad Q(1,-19,31);$A\left(29,-5,-4\right);B\left(-3,-27,12\right);M\left(16,11,-8\right);P\left(4,8,19\right);Q\left(1,-19,31\right);$

g$g$ ist die Gerade durch A$A$ und B$B$.

a)

Bestimme den Punkt N$N$ auf g$g$, der P$P$ am nächsten liegt.

g{:}\, \vec X = \vec A + \lambda \overrightarrow{A B};$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{AB};$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{PN}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{PX(\lambda)}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}25\\-13\\-23\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = {}\\ {\qquad} = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 - 1764 \lambda + 1323\right] = {}3528 \lambda - 1764 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{PN}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{PX\left(\lambda \right)}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\left(\begin{array}{c}25\\ -13\\ -23\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-32\\ -22\\ 16\end{array}\right)\right|}^2==\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }\left[1764{\lambda }^2-1764\lambda +1323\right]=3528\lambda -1764\stackrel{!}{=}0;$

⇔ \lambda(N) = \frac{1}{2};$\lambda \left(N\right)=\frac{1}{2};$

⇔ \vec N = \vec X_g\!\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}13\\-16\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{N}={\overrightarrow{X}}_g\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{c}13\\ -16\\ 4\end{array}\right);$

b)

g$g$ ist Tangente einer Kugel um M$M$.

Berechne den Berührpunkt T$T$ und den Kugelradius r_b$r_b$.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{MT}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{MX(\lambda)}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}13\\-16\\4\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = {}\\ {\qquad} = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 + 441\right] = {}3528 \lambda \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{MT}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{MX\left(\lambda \right)}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\left(\begin{array}{c}13\\ -16\\ 4\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-32\\ -22\\ 16\end{array}\right)\right|}^2==\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }\left[1764{\lambda }^2+441\right]=3528\lambda \stackrel{!}{=}0;$

⇔ \lambda(T) = 0; \quad \vec T = \vec A$\lambda \left(T\right)=0;\overrightarrow{T}=\overrightarrow{A}$

⇔ r_b = \sqrt{441} = 21;$r_b=\sqrt{441}=21;$

c)

Berechne Radius r_c$r_c$ und Mittelpunkt M_c$M_c$ der kleinsten aller Kugeln, die durch M$M$ gehen und deren Mittelpunkte auf g$g$ liegen.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{M M_c}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{M X(\lambda)}\right|^2 = {}3528 \lambda \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{M{M}_c}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{MX\left(\lambda \right)}\right|}^2=3528\lambda \stackrel{!}{=}0;$

⇔ \lambda(M_c) = 0; \quad \vec M_c = \vec A;$\lambda \left(M_c\right)=0;{\overrightarrow{M}}_c=\overrightarrow{A};$

⇔ r_c = 21;$r_c=21;$

d)

Berechne Radius r_d$r_d$ und Mittelpunkt M_d$M_d$ der kleinsten aller Kugeln, die durch M$M$ gehen und g$g$ berühren. Berechne den Be­rühr­punkt T$T$.

Siehe a).

e)

Berechne Radius r_e$r_e$ und Mittelpunkt M_e$M_e$ der kleinsten aller Kugeln, die durch Q$Q$ gehen und g$g$ als Zentrale haben.

Berechne die Schnittpunkte von g$g$ und dieser Kugel; was für ein Dreieck bilden der Ursprung und die Schnittpunkte?

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{Q M_e}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{Q X(\lambda)}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}28\\14\\-35\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = {}\\ {\qquad} = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 - 3528 \lambda + 2205\right] = {}3528 \lambda - 3528 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{Q{M}_e}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\overrightarrow{QX\left(\lambda \right)}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }{\left|\left(\begin{array}{c}28\\ 14\\ -35\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-32\\ -22\\ 16\end{array}\right)\right|}^2==\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda }\left[1764{\lambda }^2-3528\lambda +2205\right]=3528\lambda -3528\stackrel{!}{=}0;$

⇔ \lambda = 1; \quad \vec M_e = \vec X(1) = \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-27\\12\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\lambda =1;{\overrightarrow{M}}_e=\overrightarrow{X}\left(1\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -27\\ 12\end{array}\right);$

⇔ r_e = \sqrt{1674 - 3528 + 2205} = \sqrt{441} = 21;$r_e=\sqrt{1674-3528+2205}=\sqrt{441}=21;$

g'{:}\, \vec X = \vec A + \lambda {\overrightarrow{AB}}^0;$g^{\prime }:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda {\overrightarrow{AB}}^0;$

Schnittpunkte von g$g$ mit dem Kreis ergeben sich durch \vec X_{g'}(\pm r_e)${\overrightarrow{X}}_{g^{\prime }}\left(\pm r_e\right)$ zu S_1 = (-19,-38,20)$S_1=\left(-19,-38,20\right)$ und S_2 = (13,-16,4)$S_2=\left(13,-16,4\right)$.

Das Dreieck gebildet durch Ursprung und den zwei Schnittpunkten ist rechtwinklig: \left|\overrightarrow{0 S_1}\right|^2 - \left|\overrightarrow{0 S_2}\right|^2 = 2205 - 441 = 1764 = \left|\overrightarrow{S_1 S_2}\right|^2;${\left|\overrightarrow{0S_1}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{0S_2}\right|}^2=2205-441=1764={\left|\overrightarrow{S_1{S}_2}\right|}^2;$

f)

Bestimme eine Gleichung der Normalen n$n$ von g$g$ durch Q$Q$.

n{:}\, \vec X = \vec M_e + \mu \overrightarrow{M_e Q} = \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-27\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}4\\8\\19\end{smallmatrix}\!\right)\!;$n:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{M}}_e+\mu \overrightarrow{M_{e}Q}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -27\\ 12\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 19\end{array}\right);$

g)

Q$Q$ an g$g$ gespiegelt ergibt Q'$Q^{\prime }$. Berechne Q'$Q^{\prime }$.

\vec Q' = \vec X_n(-1) = \left(\!\begin{smallmatrix}-7\\-35\\-7\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{Q}}^{\prime }={\overrightarrow{X}}_n\left(-1\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ -35\\ -7\end{array}\right);$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 13

g$g$ ist die Gerade durch A(8,13,3)$A\left(8,13,3\right)$ und B(14,20,-3)$B\left(14,20,-3\right)$, h$h$ ist die Gerade durch C(10,19,12)$C\left(10,19,12\right)$ und D(-8,-2,30)$D\left(-8,-2,30\right)$.

a)

Berechne den Abstand d(g,h)$d\left(g,h\right)$ von g$g$ und h$h$.

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}8\\13\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}8\\ 13\\ 3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right);$

h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\19\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu' \left(\!\begin{smallmatrix}-18\\-21\\18\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\19\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}10\\ 19\\ 12\end{array}\right)+{\mu }^{\prime }\left(\begin{array}{c}-18\\ -21\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 19\\ 12\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right);$

\overrightarrow{X_g X_h} = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\6\\9\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right) - \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{X_g{X}_h}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right)-\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right);$

\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = \overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec h = 0;$\overrightarrow{X_g{X}_h}\cdot \overrightarrow{g}=\overrightarrow{X_g{X}_h}\cdot \overrightarrow{h}=0;$

\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = \left(12 - 36 \mu - 36 \lambda\right) + \left(42 - 49 \mu - 42 \lambda\right) + \left(-54 - 36 \mu - 36 \lambda\right) = -23 \mu - 23 \lambda = 0;$\overrightarrow{X_g{X}_h}\cdot \overrightarrow{g}=\left(12-36\mu -36\lambda \right)+\left(42-49\mu -42\lambda \right)+\left(-54-36\mu -36\lambda \right)=-23\mu -23\lambda =0;$ ⇔ \mu = - \lambda;$\mu =-\lambda ;$

\left|\overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)}\right| = \left|\left(\!\begin{smallmatrix}2\\6\\9\end{smallmatrix}\!\right)\right| = \sqrt{4 + 36 + 81} = 11;$\left|\overrightarrow{X_g\left(\lambda \right)X_h\left(-\lambda \right)}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)\right|=\sqrt{4+36+81}=11;$

b)

Bestimme eine Gleichung der Mittelparallelen m$m$ von g$g$ und h$h$.

m{:}\, \vec X = \vec X_g + \frac{\overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)}}{2} = \left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$m:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_g+\frac{\overrightarrow{X_g\left(\lambda \right)X_h\left(-\lambda \right)}}{2}=\left(\begin{array}{c}9\\ 16\\ 7,5\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right);$

c)

g$g$ an h$h$ gespiegelt ergibt u$u$, und h$h$ an g$g$ gespiegelt ergibt v$v$.

Bestimme Gleichungen von u$u$ und v$v$.

u{:}\, \vec X = \vec X_g + 2 \overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)} = \left(\!\begin{smallmatrix}12\\25\\21\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$u:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_g+2\overrightarrow{X_g\left(\lambda \right)X_h\left(-\lambda \right)}=\left(\begin{array}{c}12\\ 25\\ 21\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right);$

v{:}\, \vec X = \vec X_h - 2 \overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)} = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;$v:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_h-2\overrightarrow{X_g\left(\lambda \right)X_h\left(-\lambda \right)}=\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right);$

d)

Wo liegen die Mittelpunkte der Kugeln, die g$g$ und h$h$ berühren?

k{:}\, \vec X = \vec X_m + \sigma \left(\overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)} \times \vec g\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}-36 - 63\\54 + 12\\14 - 36\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}-99\\66\\-22\end{smallmatrix}\!\right)\!;$k:\overrightarrow{X}={\overrightarrow{X}}_m+\sigma \left(\overrightarrow{X_g\left(\lambda \right)X_h\left(-\lambda \right)}\times \overrightarrow{g}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 16\\ 7,5\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)+\sigma \left(\begin{array}{c}-36-63\\ 54+12\\ 14-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 16\\ 7,5\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)+\sigma \left(\begin{array}{c}-99\\ 66\\ -22\end{array}\right);$

e)

Wo liegen die Mittelpunkte der kleinstmöglichen Kugeln, die g$g$ und h$h$ berühren?

Auf m$m$.

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 14

g_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}7\\1\\a\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in \mathds{Z};$g_a:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ a\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right);a\in \mathbb{\mathbb{Z}};$

M(-5,5,5); \quad V(6,18,6); \quad W(-6,12,0);$M\left(-5,5,5\right);V\left(6,18,6\right);W\left(-6,12,0\right);$

a)

Beschreibe die Schar g_a$g_a$, welchen Abstand haben benachbarte Schargeraden?

Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Mittelparallele von g_7$g_7$ und g_{-7}$g_{-7}$?

Die Schar besteht aus unendlich vielen parallelen Geraden.

\left|\vec X_{g_{a}} - \vec X_{g_{a + 1}}\right| = \left|\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\right| = 1;$\left|{\overrightarrow{X}}_{g_a}-{\overrightarrow{X}}_{g_{a+1}}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)\right|=1;$

Mittelparallele von g_7$g_7$ und g_{-7}$g_{-7}$ ist g_0{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}7\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)$g_0:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, eine Gerade in der x_1$x_1$–x_2$x_2$-Ebene.

b)

Welche Schargeraden haben vom Ursprung den Abstand 7$7$?

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{0 X}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[50 + a^2 + 10 \mu + 5 \mu^2\right] = {}10 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{0X}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }\left[50+a^2+10\mu +5{\mu }^2\right]=10+10\mu \stackrel{!}{=}0;$

⇔ \mu = -1;$\mu =-1;$

\left|\overrightarrow{0 X(-1)}\right| = \sqrt{45 + a^2} \stackrel{!}{=} 7;$\left|\overrightarrow{0X\left(-1\right)}\right|=\sqrt{45+a^2}\stackrel{!}{=}7;$ ⇔ a = \pm 2;$a=\pm 2;$

c)

Welche Schargeraden berühren die Kugeln um M$M$ mit Radius 9$9$?

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{M X}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}12\\-4\\a-5\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[185 + a^2 -10a + 40 \mu + 5 \mu^2\right] = {}40 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{MX}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ a-5\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }\left[185+a^2-10a+40\mu +5{\mu }^2\right]=40+10\mu \stackrel{!}{=}0;$

⇔ \mu = -4;$\mu =-4;$

\left|\overrightarrow{M X(-4)}\right| = \sqrt{185 + a^2 - 10a - 80} \stackrel{!}{=} 9;$\left|\overrightarrow{MX\left(-4\right)}\right|=\sqrt{185+a^2-10a-80}\stackrel{!}{=}9;$ ⇔ a^2 - 10a + 96 = 0;$a^2-10a+96=0;$

D = 100 - 4 \cdot 1 \cdot 96 < 0;$D=100-4\cdot 1\cdot 96<0;$ ⇔ keine Schargerade berührt die Kugel um M$M$ mit Radius 9$9$.

d)

Bezüglich welcher Schargerade sind V$V$ und W$W$ symmetrisch?

\vec V + \frac{1}{2} \overrightarrow{VW} = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{V}+\frac{1}{2}\overrightarrow{VW}=\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 3\end{array}\right);$

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\vec X - \left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[154 + a^2 - 6a + 70 \mu + 5 \mu^2\right] = {}70 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{X}-\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 3\end{array}\right)\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }\left[154+a^2-6a+70\mu +5{\mu }^2\right]=70+10\mu \stackrel{!}{=}0;$

⇔ \mu = -7;$\mu =-7;$

\left|\vec X(-7) - \left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = \left|\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\a-3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = a^2 - 6a + 9 \stackrel{!}{=} 0;${\left|\overrightarrow{X}\left(-7\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 3\end{array}\right)\right|}^2={\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ a-3\end{array}\right)\right|}^2=a^2-6a+9\stackrel{!}{=}0;$

⇔ a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = 3;$a=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 1\cdot 9}}{2}=3;$