«K12/K13» 111. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 111. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 255, Aufgabe 1

Entscheide, ob das Integral konvergiert und berechne gegebenenfalls seinen Wert.

a)

\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2}\right]_{\alpha}^1 = \frac{3}{2};$\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}{\left[\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}\right]}_{\alpha }^1=\frac{3}{2};$

b)

\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,\mathrm{d}x = {}\lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[3 \sqrt[3]{x}\right]_{\alpha}^1 = 3;$\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}{\left[3\sqrt[3]{x}\right]}_{\alpha }^1=3;$

c)

\int\limits_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = {}\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = {}\lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right]_{\alpha}^1 = {}\infty;$\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}\text{d}x=\underset{\alpha \to 0+}{lim}{\left[-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right]}_{\alpha }^1=\infty ;$

d)

\int\limits_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = 0;$\underset{-1}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{x}{\sqrt[3]{x^4}}\text{d}x=0;$

e)

\int\limits_{-16}^{16} \frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}} \,\mathrm{d}x = {}2 \cdot \int\limits_0^{16} \frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}} \,\mathrm{d}x = {}2 \cdot \lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[2 \sqrt{x}\right]_{\alpha}^{16} = {}2 \cdot 8 = 16;$\underset{-16}{\overset{16}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}}\text{d}x=2\cdot \underset{0}{\overset{16}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}}\text{d}x=2\cdot \underset{\alpha \to 0+}{lim}{\left[2\sqrt{x}\right]}_{\alpha }^{16}=2\cdot 8=16;$