«K12/K13» 122. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 122. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 260, Aufgabe 16

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\9\\6\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad P(14,6,3);$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right);P\left(14,6,3\right);$

a)

g$g$ ist Tangente einer Kugel um P$P$.

Berechne Berührpunkt A$A$ und Kugelradius r_{\text{a}}$r_{\text{a}}$.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{P X(\mu)}\right|^2 = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}-12\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = \\ {}\quad = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[144 - 2 \cdot 96 \mu + 64 \mu^2 + 9 + 2 \cdot 3 \mu + \mu^2 + 9 + 2 \cdot 12 \mu + 16 \mu^2\right] = \\ {}\quad = {}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[162 - 162 \mu + 81 \mu^2\right] = {}-162 + 162 \mu \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\overrightarrow{PX\left(\mu \right)}\right|}^2=\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }{\left|\left(\begin{array}{c}-12\\ 3\\ 3\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)\right|}^2==\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }\left[144-2\cdot 96\mu +64{\mu }^2+9+2\cdot 3\mu +{\mu }^2+9+2\cdot 12\mu +16{\mu }^2\right]==\frac{\text{d}}{\text{d}\mu }\left[162-162\mu +81{\mu }^2\right]=-162+162\mu \stackrel{!}{=}0;$

Alternativ: E{:}\, \vec g \cdot \left(\vec X - \vec P\right) = 0;$E:\overrightarrow{g}\cdot \left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{P}\right)=0;$ → E \cap g = \left\{ A \right\};$E\cap g=\left\{A\right\};$

⇔ \mu = 1;$\mu =1;$

\vec A = \vec X(1) = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\10\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{X}\left(1\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 10\end{array}\right);$

r_{\text{a}} = \sqrt{162 - 162 + 81} = 9;$r_{\text{a}}=\sqrt{162-162+81}=9;$

b)

Auf g$g$ liegt der Mittelpunkt B$B$ der kleinsten Kugel durch P$P$. Berechne B$B$ und den Kugelradius r_{\text{b}}$r_{\text{b}}$ und die Schnittpunkte S$S$ von Kugel und Gerade.

B = A; \quad r_{\text{b}} = r_{\text{a}};$B=A;r_{\text{b}}=r_{\text{a}};$

\vec g^0 = \frac{1}{9} \left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{g}}^0=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right);$

\vec S_1 = \vec B + r_{\text{b}} \vec g^0 = {}\left(\!\begin{smallmatrix}18\\11\\14\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad {}\vec S_2 = \vec B - r_{\text{b}} \vec g^0 = {}\left(\!\begin{smallmatrix}2\\9\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{S}}_1=\overrightarrow{B}+r_{\text{b}}{\overrightarrow{g}}^0=\left(\begin{array}{c}18\\ 11\\ 14\end{array}\right);{\overrightarrow{S}}_2=\overrightarrow{B}-r_{\text{b}}{\overrightarrow{g}}^0=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right);$

c)

Berechne Radius r_{\text{c}}$r_{\text{c}}$ und Mittelpunkt C$C$ der kleinsten Kugel, die durch P$P$ geht und g$g$ berührt.

\vec C = \frac{\vec A + \vec B}{2}; \quad r_{\text{c}} = \frac{r_{\text{a}}}{2};$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2};r_{\text{c}}=\frac{r_{\text{a}}}{2};$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 270, Aufgabe 1

Gib die HESSEform an.

a)

NF: 7x_1 - 2x_2 + 26x_3 + 54 = 0;$7x_1-2x_2+26x_3+54=0;$

HNF: -\frac{1}{27} \left(7x_1 - 2x_2 + 26x_3 + 54\right) = 0;$-\frac{1}{27}\left(7x_1-2x_2+26x_3+54\right)=0;$

b)

NF: 6x_1 + 8x_3 = -50;$6x_1+8x_3=-50;$

HNF: -\frac{1}{10} \left(6x_1 + 8x_3 + 50\right) = 0;$-\frac{1}{10}\left(6x_1+8x_3+50\right)=0;$

c)

NF: 15x_1 + 6x_2 - 10x_3 = 0;$15x_1+6x_2-10x_3=0;$

HNF: \pm\frac{1}{19} \left(15x_1 + 6x_2 - 10x_3\right) = 0;$\pm \frac{1}{19}\left(15x_1+6x_2-10x_3\right)=0;$

d)

NF: 3x_3 = 3;$3x_3=3;$

HNF: \frac{3x_3 - 3}{3} = x_3 - 1 = 0;$\frac{3x_3-3}{3}=x_3-1=0;$

e)

NF: \frac{1}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 = 1;$\frac{1}{3}{x}_1-\frac{2}{3}{x}_2+\frac{2}{3}{x}_3=1;$

HNF: \frac{1}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0;$\frac{1}{3}{x}_1-\frac{2}{3}{x}_2+\frac{2}{3}{x}_3-1=0;$

f)

NF: x_1 = 0;$x_1=0;$

HNF: \pm x_1 = 0;$\pm x_1=0;$