0.0.1 ↑ 126. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 220, Aufgabe 2
Gegeben sei eine BERNOULLIkette der Länge 4 mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0{,}3.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
- a)
Auf zwei Treffer hintereinander folgen zwei Nieten.
P_{\text{a}} = p^2 q^2 \approx 4{,}4 \,\%;
- b)
Auf zwei Nieten hintereinander folgen zwei Treffer.
P_{\text{b}} = P_{\text{a}} = q^2 p^2 \approx 4{,}4 \,\%;
- c)
Zwei Treffer und zwei Nieten treten jeweils hintereinander auf.
P_{\text{c}} = 2 P_{\text{a}} = 2 p^2 q^2 \approx 8{,}8 \,\%;
- d)
Nur die ersten drei Versuche verlaufen erfolgreich.
P_{\text{d}} = p^3 q \approx 1{,}9 \,\%;
- e)
Die ersten drei Versuche verlaufen erfolgreich.
P_{\text{e}} = p^3 q + p^3 p = p^3 (q + p) = p^3 = 2{,}7 \,\%;
- f)
Nur zwei Versuche sind erfolgreich.
P_{\text{f}} = \binom{4}{2} p^2 q^2 \approx 26{,}5 \,\%;
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 220, Aufgabe 3
Gegeben ist eine BERNOULLIkette der Länge 4 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
- a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Treffer aufeinander folgen.
P_{\text{a}} = P\!\left(\left\{ 1100, 0110, 0011, 1011, 1101 \right\}\right) = 3 p^2 q^2 + 2 p^3 q;
- b)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Nieten aufeinander folgen.
P_{\text{b}} = P_{\text{b}};
- c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Treffer oder genau zwei Nieten aufeinander folgen.
P_{\text{c}} = 4 p^2 q^2 + 2 p^3 q + 2 p q^3 = 2 p - 2 p^2 = 2 p q;
0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 221, Aufgabe 7
Bei Beginn des Spiels Mensch ärgere dich nicht darf der Spieler dreimal würfeln. Wenn dabei eine Sechs fällt, darf er mit einer seiner Figuren starten.
- c)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man beim 1. Durchgang starten?
P = p + q p + q^2 p = 1 - q^3 \approx 42{,}1 \,\%;
0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 222, Aufgabe 17
Wie viel Mal muss man einen homogenen Würfel wenigstens werfen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 90 \,\% wenigstens einmal eine Sechs zu würfeln?
n \geq \frac{\ln\left[1 - 90 \,\%\right]}{\ln\left[1 - \frac{1}{6}\right]} \approx 12{,}6;
→ n \geq 13;