«K12/K13» 128. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 128. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 23

Gegeben sei eine BERNOULLIkette der Länge 4$4$ und der Trefferwahrscheinlichkeit 0{,}3$0,3$.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim i$i$-ten Versuch zum ersten Mal einen Treffer zu erzielen (i = 1, 2, 3, 4$i=1,2,3,4$).

Kurzschreibweisen: s^n = \underbrace{sss \ldots sss}_{n};$s^n=\underset{n}{\underbrace{sss\dots sss}};$ \quad$$ 1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*} = \left\{ (1,a,b,c) \,\middle|\, a,b,c \in \left\{ 0,1 \right\} \right\};$1\ast \ast \ast =\left\{\left(1,a,b,c\right)\mid a,b,c\in \left\{0,1\right\}\right\};$

P\!\left(1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*}\right) = p = 30 \,\%;$P\left(1\ast \ast \ast \right)=p=30\%;$

P\!\left(01\mathord{*}\mathord{*}\right) = q p = 21 \,\%;$P\left(01\ast \ast \right)=qp=21\%;$

P\!\left(001\mathord{*}\right) = q^2 p = 14{,}7 \,\%;$P\left(001\ast \right)=q^{2}p=14,7\%;$

P\!\left(\left\{0001\right\}\right) = q^3 p \approx 10{,}3 \,\%;$P\left(\left\{0001\right\}\right)=q^{3}p\approx 10,3\%;$

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zum ersten Mal ein Treffer nach höchstens vier Versuchen einstellt?

P\!\left( {} 1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*} \cup {} 01\mathord{*}\mathord{*} \cup {} 001\mathord{*} \cup {} \left\{0001\right\} \right) = p + qp + q^2 p + q^3 p = p \left(1 + q + q^2 + q^3\right) = 1 - P\!\left(\left\{ 0000 \right\}\right) \approx 76 \,\%;$P\left(1\ast \ast \ast \cup 01\ast \ast \cup 001\ast \cup \left\{0001\right\}\right)=p+qp+q^{2}p+q^{3}p=p\left(1+q+q^2+q^3\right)=1-P\left(\left\{0000\right\}\right)\approx 76\%;$

c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Treffer frühstens beim dritten Versuch zum ersten Mal einstellt?

P\!\left( {} 001\mathord{*} \cup {} \left\{0001\right\} \right) = q^2 p + q^3 p = p \left(q^2 + q^3\right) \approx 25 \,\%;$P\left(001\ast \cup \left\{0001\right\}\right)=q^{2}p+q^{3}p=p\left(q^2+q^3\right)\approx 25\%;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 24

Eine Laplace-Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf erscheint, höchstens aber zehn Mal.

a)

Konstruieren Sie einen passenden Ergebnisraum.

\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^{10};$\Omega ={\left\{0,1\right\}}^{10};$

b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt spätestens beim 5. Wurf Kopf?

P\!\left( {} 1\mathord{*}^9 \cup {} 01\mathord{*}^8 \cup {} 001\mathord{*}^7 \cup {} 0001\mathord{*}^6 \cup {} 00001\mathord{*}^5 \right) = p + qp + q^2 p + q^3 p + q^4 p = p + p^2 + p^3 + p^4 + p^5 \approx 96{,}9 \,\%;$P\left(1{\ast }^9\cup 01{\ast }^8\cup 001{\ast }^7\cup 0001{\ast }^6\cup 00001{\ast }^5\right)=p+qp+q^{2}p+q^{3}p+q^{4}p=p+p^2+p^3+p^4+p^5\approx 96,9\%;$

c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt frühestens beim 5. Wurf Kopf?

P\!\left( {} 00001\mathord{*}^5 \right) = q^4 p = p^5 \approx 3{,}1 \,\%;$P\left(00001{\ast }^5\right)=q^{4}p=p^5\approx 3,1\%;$

"Alternativ":

P\!\left(0000 \mathord{*}^6\right) = q^4 \approx 6{,}3 \,\%;$P\left(0000{\ast }^6\right)=q^4\approx 6,3\%;$

d)

Mit welcher Anzahl von Würfen ist das Spiel mit mehr als 99 \,\%$99\%$ Wahrscheinlichkeit spätestens beendet?

n \geq \frac{\ln\left[1 - 99 \,\%\right]}{\ln\left[1 - p\right]} \approx 6{,}6;$n\ge \frac{ln\left[1-99\%\right]}{ln\left[1-p\right]}\approx 6,6;$ → n \geq 7;$n\ge 7;$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 25

Ein Laplace-Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Augenzahl 6$6$ erscheint, höchstens aber sechs Mal.

a)

Suchen Sie einen geeigneten Ergebnisraum.

\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^6;$\Omega ={\left\{0,1\right\}}^6;$

b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau beim 6. Wurf die Zahl 6$6$?

P(0^5 1) = q^5 p \approx 6{,}7 \,\%;$P\left(0^{5}1\right)=q^{5}p\approx 6,7\%;$

c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt keinmal die Sechs?

P(0^6) = q^5 \approx 33{,}5 \,\%;$P\left(0^6\right)=q^5\approx 33,5\%;$

d)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt frühestens beim 5. Wurf die Sechs?

P(0^4 \mathord{*}^2) = q^4 \approx 48{,}2 \,\%;$P\left(0^4{\ast }^2\right)=q^4\approx 48,2\%;$

0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 224, Aufgabe 26

Gegeben sei eine BERNOULLIkette mit den Parametern n$n$ und p$p$. Wir interessieren uns für die Ereignisse E_k$E_k$: "In den ersten \left(k-1\right)$\left(k-1\right)$ Versuchen kein Treffer, beim k$k$-ten Versuch ein Treffer" (k = 0,1,\ldots,n$k=0,1,\dots ,n$).

a)

Berechnen Sie P(E_2)$P\left(E_2\right)$.

P(E_2) = q p;$P\left(E_2\right)=qp;$

b)

Berechnen Sie P(E_3)$P\left(E_3\right)$.

P(E_3) = q^2 p;$P\left(E_3\right)=q^{2}p;$

c)

Berechnen Sie P(E_k)$P\left(E_k\right)$.

P(E_k) = q^{k - 1} p;$P\left(E_k\right)=q^{k-1}p;$

d)

Da wir uns für die Ereignisse E_k$E_k$ interessieren, können wir den Ergebnisraum der BERNOULLIkette vergröbert auch darstellen durch

\Omega = \left\{ 1, 01, 001, \ldots, \mathord{\underbrace{000 \ldots 000}_{n-1}}1, \underbrace{000\ldots000}_n \right\}$\Omega =\left\{1,01,001,\dots ,\mathrm{<munder\; class="msub"><mrow>000\dots 000</mrow><mrow>n-1</mrow></munder>}1,\underset{n}{\underbrace{000\dots 000}}\right\}$.

Zeigen Sie, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse gleich 1$1$ ist.

\Omega' = \left\{ 0,1 \right\}^n;${\Omega }^{\prime }={\left\{0,1\right\}}^n;$

\begin{array}{@{}rrcl} {} f{:}\, & \Omega' &\to& \Omega \\ {} & 1 \mathord{*}^{n-1} &\mapsto& 1 \\ {} & 01 \mathord{*}^{n-2} &\mapsto& 01 \\ {} & 001 \mathord{*}^{n-3} &\mapsto& 001 \\ {} & &\vdots \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill f:& \hfill {\Omega }^{\prime }& \hfill \to \hfill & \Omega \hfill \\ \hfill & \hfill 1{\ast }^{n-1}& \hfill \mapsto \hfill & 1\hfill \\ \hfill & \hfill 01{\ast }^{n-2}& \hfill \mapsto \hfill & 01\hfill \\ \hfill & \hfill 001{\ast }^{n-3}& \hfill \mapsto \hfill & 001\hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill ⋮\hfill \end{array}$

Mit \omega \in \Omega$\omega \in \Omega$: P(\omega) = P\!\left(\left\{ \omega' \in \Omega' \,\middle|\, f(\omega') = \omega \right\}\right);$P\left(\omega \right)=P\left(\left\{{\omega }^{\prime }\in {\Omega }^{\prime }\mid f\left({\omega }^{\prime }\right)=\omega \right\}\right);$

Da P(\Omega') = 1$P\left({\Omega }^{\prime }\right)=1$ und die Zerlegung über das Urbild der Elementarereignisse von \Omega$\Omega$ unter f$f$ disjunkt ist, muss auch P(\Omega) = 1$P\left(\Omega \right)=1$ gelten.

Alternativ:

P(\Omega) = p + pq + pq^2 + \cdots + pq^{n-1} + q^n = {}p \left(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}\right) + q^n = {}p \cdot \left[\frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot 1\right] + q^n = {}-q^n + 1 + q^n = 1;$P\left(\Omega \right)=p+pq+p{q}^2+\cdots +p{q}^{n-1}+q^n=p\left(1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}\right)+q^n=p\cdot \left[\frac{q^n-1}{q-1}\cdot 1\right]+q^n=-q^n+1+q^n=1;$