«K12/K13» 134. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 134. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 2

X$X$ sei die Augenzahl beim Werfen eines echten Würfels.

a)

Wie groß ist die maximale absolute Abweichung \left|X - \mu\right|$\left|X-\mu \right|$?

\mu = 3{,}5;$\mu =3,5;$

\max \left\{ \left|X(\omega) - \mu\right| \,\middle|\, \omega \in \Omega \right\} = 2{,}5;$max\left\{\left|X\left(\omega \right)-\mu \right|\mid \omega \in \Omega \right\}=2,5;$

b)

Berechnen Sie P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right)$P\left(\left|X-\mu \right|\le 2,5\right)$ und P\!\left(\left|X - \mu\right| > 2{,}5\right)$P\left(\left|X-\mu \right|>2,5\right)$.

P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right) = 1;$P\left(\left|X-\mu \right|\le 2,5\right)=1;$

P\!\left(\left|X - \mu\right| > 2{,}5\right) = 1 - P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right) = 0;$P\left(\left|X-\mu \right|>2,5\right)=1-P\left(\left|X-\mu \right|\le 2,5\right)=0;$

c)

Welche Abschätzung liefert die Tschebyschew-Ungleichung für P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right)$P\left(\left|X-\mu \right|\le 2,5\right)$ bzw. P\!\left(\left|X - \mu\right| > 2{,}5\right)$P\left(\left|X-\mu \right|>2,5\right)$?

\sigma^2 = \frac{35}{12};${\sigma }^2=\frac{35}{12};$

P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right) > 1 - \frac{\sigma^2}{\left(2{,}5\right)^2} = 1 - \frac{35/12}{\left(2{,}5\right)^2} \approx 53{,}3 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|\le 2,5\right)>1-\frac{{\sigma }^2}{{\left(2,5\right)}^2}=1-\frac{35∕12}{{\left(2,5\right)}^2}\approx 53,3\%;$

P\!\left(\left|X - \mu\right| > 2{,}5\right) \leq \frac{\sigma^2}{\left(2{,}5\right)^2} = \frac{35/12}{\left(2{,}5\right)^2} \approx 46{,}7 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|>2,5\right)\le \frac{{\sigma }^2}{{\left(2,5\right)}^2}=\frac{35∕12}{{\left(2,5\right)}^2}\approx 46,7\%;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 3

Berechnen Sie von den folgenden Zufallsgrößen jeweils P\!\left(\left|X - \mu\right| < t \sigma\right)$P\left(\left|X-\mu \right|<t\sigma \right)$ für t = 3/2$t=3∕2$ und t = 2$t=2$ und vergleichen Sie die exakten Werte mit den Schranken nach Tschebyschew:

a)

X$X$ sei die Augensumme beim Werfen zweier Würfel.

\mu = 7; \quad \sigma^2 = \frac{70}{12};$\mu =7;{\sigma }^2=\frac{70}{12};$

P\!\left(\left|X - \mu\right| < \frac{3}{2} \sigma\right) = \frac{30}{6^2} \approx 83{,}3 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<\frac{3}{2}\sigma \right)=\frac{30}{6^2}\approx 83,3\%;$ (Augensummen von 3$3$ bis 11$11$)

P\!\left(\left|X - \mu\right| < \frac{3}{2} \sigma\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\left(\frac{3}{2} \sigma\right)^2} = 1 - \frac{4}{9} \approx 55{,}5 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<\frac{3}{2}\sigma \right)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\left(\frac{3}{2}\sigma \right)}^2}=1-\frac{4}{9}\approx 55,5\%;$

P\!\left(\left|X - \mu\right| < 2 \sigma\right) = \frac{34}{6^2} \approx 94{,}4 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<2\sigma \right)=\frac{34}{6^2}\approx 94,4\%;$ (Augensummen von 4$4$ bis 10$10$)

P\!\left(\left|X - \mu\right| < 2 \sigma\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\left(2 \sigma\right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<2\sigma \right)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\left(2\sigma \right)}^2}=1-\frac{1}{4}=75\%;$

b)

X$X$ sei die Anzahl der Wappen beim viermaligen Werfen einer einwandfreien Münze.

\mu = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2; \quad \sigma^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} = 1;$\mu =4\cdot \frac{1}{2}=2;{\sigma }^2=4\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{2}=1;$

P\!\left(\left|X - \mu\right| < \frac{3}{2} \sigma\right) = 87{,}5 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<\frac{3}{2}\sigma \right)=87,5\%;$ (alle Ergebnisse außer 0^4$0^4$ und 1^4$1^4$)

P\!\left(\left|X - \mu\right| < \frac{3}{2} \sigma\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\left(\frac{3}{2} \sigma\right)^2} = 1 - \frac{4}{9} \approx 55{,}5 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<\frac{3}{2}\sigma \right)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\left(\frac{3}{2}\sigma \right)}^2}=1-\frac{4}{9}\approx 55,5\%;$

P\!\left(\left|X - \mu\right| < 2 \sigma\right) = 87{,}5 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<2\sigma \right)=87,5\%;$ (alle Ergebnisse außer 0^4$0^4$ und 1^4$1^4$)

P\!\left(\left|X - \mu\right| < 2 \sigma\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\left(2 \sigma\right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75 \,\%;$P\left(\left|X-\mu \right|<2\sigma \right)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\left(2\sigma \right)}^2}=1-\frac{1}{4}=75\%;$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 4

Sei k \in \mathds{R}^+$k\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$. Eine Zufallsgröße X$X$ nehme die Werte \left(-k\right)$\left(-k\right)$, 0$0$, k$k$ mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = -k) = \frac{1}{2 \sqrt{k}}$P\left(X=-k\right)=\frac{1}{2\sqrt{k}}$, P(X = 0) = 1 - \frac{1}{\sqrt{k}}$P\left(X=0\right)=1-\frac{1}{\sqrt{k}}$, P(X = k) = \frac{1}{2 \sqrt{k}}$P\left(X=k\right)=\frac{1}{2\sqrt{k}}$ an.

a)

Berechnen Sie \mu$\mu$ und \sigma^2${\sigma }^2$.

Achtung: k$k$ muss größergleich \frac{1}{4}$\frac{1}{4}$ sein, andernfalls ist P(X = \pm k)$P\left(X=\pm k\right)$ größer 1$1$!

\mu = 0; \quad \sigma^2 = E(X^2) - E^2(X) = k^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} = k^{3/2};$\mu =0;{\sigma }^2=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)=k^2\cdot \frac{1}{\sqrt{k}}=k^{3∕2};$

b)

Berechnen Sie P\!\left(\left|X\right| \geq k\right)$P\left(\left|X\right|\ge k\right)$.

P\!\left(\left|X\right| \geq k\right) = \frac{1}{\sqrt{k}};$P\left(\left|X\right|\ge k\right)=\frac{1}{\sqrt{k}};$ (X = \pm k$X=\pm k$)

c)

Schätzen Sie P\!\left(\left|X\right| \geq k\right)$P\left(\left|X\right|\ge k\right)$ nach Tschebyschew ab.

P\!\left(\left|X\right| \geq k\right) \leq \frac{k^{3/2}}{k^2} = \frac{1}{\sqrt{k}};$P\left(\left|X\right|\ge k\right)\le \frac{k^{3∕2}}{k^2}=\frac{1}{\sqrt{k}};$

d)

Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.

Die TSCHEBYSCHEWschranke ist in diesem Fall optimal.

0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 5

Bei der automatischen Herstellung von Stahlbolzen wird ein Durchmesser von 4{,}5 \,\mathrm{mm}$4,5\text{mm}$ verlangt, wobei Abweichungen bis zu 0{,}2 \,\mathrm{mm}$0,2\text{mm}$ zulässig sind. Eine Überprüfung ergab für den Durchmesser den Erwartungswert 4{,}5 \,\mathrm{mm}$4,5\text{mm}$ bei einer Standardabweichung von 0{,}08 \,\mathrm{mm}$0,08\text{mm}$. Mit welchem Anteil an unbrauchbaren Bolzen muss höchstenfalls gerechnet werden?

P\!\left(\left|X - 4{,}5 \,\mathrm{mm}\right| > 0{,}2 \,\mathrm{mm}\right) < \frac{\left(0{,}08 \,\mathrm{mm}\right)^2}{\left(0{,}2 \,\mathrm{mm}\right)^2} = 16 \,\%;$P\left(\left|X-4,5\text{mm}\right|>0,2\text{mm}\right)<\frac{{\left(0,08\text{mm}\right)}^2}{{\left(0,2\text{mm}\right)}^2}=16\%;$

0.0.1.5 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 6

Der Inhalt automatisch verpackter Fleischkonserven soll 1000 \,\mathrm{g}$1000\text{g}$ betragen. Abweichungen von 30 \,\mathrm{g}$30\text{g}$ vom Soll seien zulässig. Bei der Überprüfung des Inhalts X$X$ vieler Konservendosen in \mathrm{g}$\text{g}$ ergab sich als arithmatischer Mittelwert \overline{x} = 1000 \,\mathrm{g}$\overline{x}=1000\text{g}$ und als empirische Varianz s^2 = 100 \,\mathrm{g}^2$s^2=100{\text{g}}^2$.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Doseninhalt außerhalb der zulässigen Toleranz?

P\!\left(\left|X - \overline{x}\right| > 30 \,\mathrm{g}\right) < \frac{s^2}{\left(30 \,\mathrm{g}\right)^2} = \frac{1}{9} \approx 11{,}1 \,\%;$P\left(\left|X-\overline{x}\right|>30\text{g}\right)<\frac{s^2}{{\left(30\text{g}\right)}^2}=\frac{1}{9}\approx 11,1\%;$

0.0.1.6 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 7

Der Fehleranteil serienmäßig hergestellter Produkte sei 1 \,\%$1\%$. Aus einem Los sehr großen Umfangs N$N$ wird eine Stichprobe von n = 1000$n=1000$ Einheiten entnommen (n \ll N$n\ll N$). Gefragt ist nach einer Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl X$X$ der fehlerhaften Elemente vom Erwartungswert um höchstens 10$10$ Einheiten abweicht.

\mu = 1000 \cdot 1 \,\% = 10; \quad \sigma^2 = 1000 \cdot \left(1 \,\%\right) \left(99 \,\%\right) = 9{,}9;$\mu =1000\cdot 1\%=10;{\sigma }^2=1000\cdot \left(1\%\right)\left(99\%\right)=9,9;$

P\!\left(\left|X - 10\right| \leq 10\right) > 1 - \frac{9{,}9}{10^2} = 90{,}1 \,\%;$P\left(\left|X-10\right|\le 10\right)>1-\frac{9,9}{10^2}=90,1\%;$

0.0.1.7 ↑ Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 8

Eine Anlage besteht aus 10$10$ unabhängig voneinander arbeitenden Elementen, von denen jedes innerhalb der Wartungszeit mit der Wahrscheinlichkeit 5 \,\%$5\%$ ausfällt. Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür abzuschätzen, dass die Zahl X$X$ der ausfallenden Elemente vom Erwartungswert um mindestens 2$2$ abweicht. Vergleich mit dem exakten Wert!

\mu = 10 \cdot 5 \,\% = 0{,}5; \quad \sigma^2 = 10 \cdot \left(5 \,\%\right) \left(95 \,\%\right) = 0{,}475;$\mu =10\cdot 5\%=0,5;{\sigma }^2=10\cdot \left(5\%\right)\left(95\%\right)=0,475;$

P\!\left(\left|X - 0{,}5\right| \geq 2\right) \leq \frac{0{,}475}{2^2} \approx 11{,}9 \,\%;$P\left(\left|X-0,5\right|\ge 2\right)\le \frac{0,475}{2^2}\approx 11,9\%;$