«K12/K13» 135. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 135. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 11

Die Lebensdauer X$X$ bestimmter Projektionslampen schwankt mit einer Standardabweichung von \sigma = 10 \,\mathrm{h}$\sigma =10\text{h}$ um den Erwartungswert \mu = 150 \,\mathrm{h}$\mu =150\text{h}$.

a)

Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit ergibt eine Zufallsauswahl von vier Lampen eine mittlere Lebensdauer zwischen 130 und 170 Stunden?

P\!\left(\left|\overline{X} - 150 \,\mathrm{h}\right| \leq 20 \,\mathrm{h}\right) > 1 - \frac{\left(10 \,\mathrm{h}\right)^2}{4 \left(20 \,\mathrm{h}\right)^2} \approx 93{,}8 \,\%;$P\left(\left|\overline{X}-150\text{h}\right|\le 20\text{h}\right)>1-\frac{{\left(10\text{h}\right)}^2}{4{\left(20\text{h}\right)}^2}\approx 93,8\%;$

b)

Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit kann bei insgesamt 16 Lampen mit einer Gesamtlebensdauer zwischen 2240 und 2560 Stunden gerechnet werden?

P\!\left(\left|X^\Sigma - 2400 \,\mathrm{h}\right| \leq 160 \,\mathrm{h} \,\mathrm{h}\right) > 1 - \frac{16 \left(10 \,\mathrm{h}\right)^2}{\left(160 \,\mathrm{h}\right)^2} \approx 93{,}8 \,\%;$P\left(\left|X^{\Sigma }-2400\text{h}\right|\le 160\text{h}\text{h}\right)>1-\frac{16{\left(10\text{h}\right)}^2}{{\left(160\text{h}\right)}^2}\approx 93,8\%;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 12

Für die Brenndauer X$X$ einer Glühlampenserie kann die Standardabweichung \sigma < 100 \,\mathrm{h}$\sigma <100\text{h}$ angenommen werden. Wie viele Lampen müs­sen mindestens getestet werden, damit der arithmetische Mittelwert der Brenndauer mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 95 \,\%$95\%$ um weniger als 50 \,\mathrm{h}$50\text{h}$ vom Erwartungswert abweicht?

95 \,\% = P\!\left(\left|\overline{X} - \mu\right| < 50 \,\mathrm{h}\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n \cdot \left(50 \,\mathrm{h}\right)^2};$95\%=P\left(\left|\overline{X}-\mu \right|<50\text{h}\right)\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{n\cdot {\left(50\text{h}\right)}^2};$ ⇔

n \leq \frac{\sigma^2}{\left[1 - P\!\left(\left|\overline{X} - \mu\right| < 50 \,\mathrm{h}\right)\right] c^2} = 80;$n\le \frac{{\sigma }^2}{\left[1-P\left(\left|\overline{X}-\mu \right|<50\text{h}\right)\right]c^2}=80;$

XXX Fehler: n$n$ müsste \geq$\ge$ irgendwas sein 4,21

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 13

Ein fairer Würfel wird n$n$ Mal unabhängig geworfen. X_i$X_i$ sei die beim i$i$-ten Wurf erzielte Augenzahl.

a)

Geben Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das arithmetische Mittel \overline{X}$\overline{X}$ der erzielten Augenzahlen einen Wert aus dem Intervall \left[3,4\right]$\left[3,4\right]$ annimmt, wenn n = 70$n=70$ Würfe durchgeführt werden.

Führen Sie dieses Experiment durch und berechnen Sie \overline{x}$\overline{x}$.

\operatorname{Var}(X_i) = E(X_i^2) - E^2(X_i) = \frac{1}{6} \left[1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2\right] - \left(3{,}5\right)^2 = \frac{35}{12};$Var\left(X_i\right)=E\left(X_i^2\right)-E^2\left(X_i\right)=\frac{1}{6}\left[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\right]-{\left(3,5\right)}^2=\frac{35}{12};$

P\!\left(\left|\overline{X} - 3{,}5\right| \leq 0{,}5\right) > 1 - \frac{35/12}{70 \cdot \left(0{,}5\right)^2} \approx 83{,}3 \,\%;$P\left(\left|\overline{X}-3,5\right|\le 0,5\right)>1-\frac{35∕12}{70\cdot {\left(0,5\right)}^2}\approx 83,3\%;$

Berechnung von \overline{x}$\overline{x}$:

•  module Main where

•  import System.Random

•  import Control.Monad

•  import Data.List

•  main = study 10000 >>= putStrLn . show

•  run = fmap (avg . take 70 . randomRs (1,6))

•  study n = do

•    ws <- replicateM n $ run (newStdGen >> getStdGen)

•    let ok = filter (\x -> x >= 3 && x <= 4) ws

•    return $ genericLength ok / genericLength ws

•  avg xs = fromIntegral (sum xs) / genericLength xs

Ergebnis: Mit ca. 98{,}679 \,\%$98,679\%$ Wahrscheinlichkeit (100 \, 100$100100$ durchgeführte Experimente) liegt \overline{x}$\overline{x}$ in \left[3,4\right]$\left[3,4\right]$.

b)

Wie oft muss man nach der Tschebyschew-Abschätzung mindestens werfen, damit \overline{X}$\overline{X}$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 \,\%$90\%$ einen Wert aus dem Intervall \left[3{,}3, 3{,}7\right]$\left[3,3,3,7\right]$ annimmt?

90 \,\% = P\!\left(\left|\overline{X} - 3{,}5\right| \leq 0{,}2\right) > 1 - \frac{35/12}{n \cdot \left(0{,}2\right)^2};$90\%=P\left(\left|\overline{X}-3,5\right|\le 0,2\right)>1-\frac{35∕12}{n\cdot {\left(0,2\right)}^2};$ ⇔

n < \frac{35/12}{\left(1 - 90 \,\%\right) \cdot \left(0{,}2\right)^2} \approx 729{,}2;$n<\frac{35∕12}{\left(1-90\%\right)\cdot {\left(0,2\right)}^2}\approx 729,2;$ (XXX müsste >$>$ heißen)

Man muss mindestens 730 Mal werfen.