«K12/K13» 17. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 17. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 62

\mathrm{g}(x) = ax^2 + bx + c; \quad D_{\mathrm{g}} = \mathds{R}; \quad a,b,c \in \mathds{R};$\text{g}\left(x\right)=a{x}^2+bx+c;D_{\text{g}}=\mathbb{ℝ};a,b,c\in \mathbb{ℝ};$

\mathrm{G}(x) = \int\limits_0^x \mathrm{g}(t) \,\mathrm{d}t;$\text{G}\left(x\right)=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{g}\left(t\right)\text{d}t;$

Der Graph der Integralfunktion \mathrm{G}$\text{G}$ hat bei 1$1$ eine waagrechte Tangente und bei \frac{1}{2}$\frac{1}{2}$ einen Wendepunkt, in dem die Tangente parallel ist zur Geraden y = -\frac{1}{4}x + 4711$y=-\frac{1}{4}x+4711$. Ermittle die Funktionsterme von \mathrm{G}$\text{G}$ und \mathrm{g}$\text{g}$.

{} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{array}{lll} {} \text{I.} & \mathrm{g}(1) = 0; \Rightarrow a + b + c = 0; & \Rightarrow c = -b - a; \\ {} \text{II.} & \mathrm{g}'(\frac{1}{2}) = 0; \Rightarrow a + b = 0; & \Rightarrow b = -a; \Rightarrow c = a - a = 0; \\ {} \text{III.} & \mathrm{g}(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}; \Rightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = -\frac{1}{4}; & \Rightarrow a = 1; \Rightarrow b = -a = -1; {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\text{I.}\hfill & \text{g}\left(1\right)=0;\Rightarrow a+b+c=0;\hfill & \Rightarrow c=-b-a;\hfill \\ \text{II.}\hfill & {\text{g}}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0;\Rightarrow a+b=0;\hfill & \Rightarrow b=-a;\Rightarrow c=a-a=0;\hfill \\ \text{III.}\hfill & \text{g}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4};\Rightarrow \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c=-\frac{1}{4};\hfill & \Rightarrow a=1;\Rightarrow b=-a=-1;\hfill \end{array}$

⇒ \mathrm{g}(x) = x^2 - x;$\text{g}\left(x\right)=x^2-x;$ \vspace*{0.5em}\\$$ ⇒ \mathrm{G}(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2;$\text{G}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2;$

Nachweis des Wendepunktes von G_{\mathrm{G}}$G_{\text{G}}$ an der Stelle \frac{1}{2}$\frac{1}{2}$:

VZW von \mathrm{g}'${\text{g}}^{\prime }$ bei \frac{1}{2}$\frac{1}{2}$ von -$-$ nach +$+$;