«K12/K13» 29. Hausaufgabe

- - 0.0.1 29. Hausaufgabe

0.0.1 ↑ 29. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 95, Aufgabe 24 [in der Schule gemacht]

Auf wie viele Arten lassen sich 15 $15$ nummerierte Kugeln so auf vier Fächer verteilen, dass das erste Fach 4 $4$ , das zweite 5 $5$ , das dritte und vierte je 3 $3$ Kugeln enthält? (Lösung mit Binomialkoeffizienten.)

\binom{15}{4} \binom{11}{5} \binom{6}{3} \binom{3}{3} = 12\thinspace612\thinspace000; $(\binom{15}{4}) (\binom{11}{5}) (\binom{6}{3}) (\binom{3}{3}) = 12612000;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 95, Aufgabe 25 [in der Schule gemacht]

Ein Skatspiel wird ausgeteilt. Drei Spieler A $A$ ,B $B$ ,C $C$ bekommen je 10 $10$ Karten, 2 $2$ Karten kommen in den Skat.

a)

Auf wie viele Arten können die Karten ausgeteilt werden?

\binom{32}{10} \binom{22}{10} \binom{12}{10} \binom{2}{2} \approx 2{,}8 \cdot 10^{15}; $(\binom{32}{10}) (\binom{22}{10}) (\binom{12}{10}) (\binom{2}{2}) \approx 2, 8 \cdot 1 0^{15};$

b)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen A $A$ zwei Buben und B $B$ und C $C$ jeweils einen Buben bekommen? (Lösung mit Binomialkoeffizienten.)

\binom{28}{8} \binom{20}{9} \binom{11}{9} \binom{2}{2} \cdot \binom{4}{2} \binom{2}{1} \binom{1}{1} \approx 3{,}5 \cdot 10^{14}; $(\binom{28}{8}) (\binom{20}{9}) (\binom{11}{9}) (\binom{2}{2}) \cdot (\binom{4}{2}) (\binom{2}{1}) (\binom{1}{1}) \approx 3, 5 \cdot 1 0^{14};$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 96, Aufgabe 27 [in der Schule gemacht]

Es sei A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} $A = \{1, 2, 3, 4\}$ .

a)

Bilden Sie alle 2 $2$ -Tupel aus A $A$ .

\Omega = \left\{ (a,b) \bigm| a,b \in A \right\}; $Ω = \{(a, b) ∣ a, b \in A\};$

\left|\Omega\right| = 4^2 = 16; $|Ω| = 4^{2} = 16;$

b)

Bilden Sie alle 2 $2$ -Permutationen aus A $A$ .

\Omega = \left\{ (a,b) \bigm| a,b \in A \wedge a \neq b \right\}; $Ω = \{(a, b) ∣ a, b \in A \land a \neq b\};$

\left|\Omega\right| = 4 \cdot 3 = 12; $|Ω| = 4 \cdot 3 = 12;$

c)

Bilden Sie alle 2 $2$ -Teilmengen aus A $A$ .

\Omega = \left\{ \left\{a,b\right\} \bigm| \left\{a,b\right\} \subset A \right\}; $Ω = \{\{a, b\} ∣ \{a, b\} \subset A\};$

\left|\Omega\right| = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6; $|Ω| = (\binom{4}{2}) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6;$

d)

Bilden Sie alle 2 $2$ -Kombinationen aus A $A$ .

[Angabe von Ω nur in PDF-Version]

\left|\Omega\right| = \binom{4 + 2 - 1}{2} = 10; $|Ω| = (\binom{4 + 2 - 1}{2}) = 10;$

0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 96, Aufgabe 30 [in der Schule gemacht]

Dominosteine haben die Form doppelter Quadrate. Jedes Quadrat trägt eine Augenzahl von 0 $0$ bis 6 $6$ . Wie viele Steine gibt es?

\binom{7}{2} + 7 = \frac{7^2 + 7}{2} = 28; $(\binom{7}{2}) + 7 = \frac{7^{2} + 7}{2} = 28;$

0.0.1.5 ↑ Exzerpt der Kapitel 7.4–7.5 und 7.7–7.8 des Stochastik-Buchs

Eine k $k$ -Permutation aus einer n $n$ -Menge mit Wiederholung ist ein k $k$ -Tupel, dessen Komponenten mit Elementen aus der Menge besetzt werden. Dabei ist Wiederholung zulässig, also ist k > n $k > n$ .

Die Anzahl dieser Permutationen errechnet sich durch Bildung des Quotienten aus k! $k!$ und den "ausgleichenden Faktoren" (die selbst auch Fakultäten sind).
Eine k $k$ -Permutation aus einer n $n$ -Menge ohne Wiederholung ist ein k $k$ -Tupel, bei dem jede Komponente mit einem anderen Element aus der Menge besetzt werden muss, also ist k \leq n $k \leq n$ .

Die Anzahl dieser Permutationen ist \frac{n!}{\left(n - k\right)!} $\frac{n!}{(n - k)!}$ .
Eine k $k$ -Kombination aus einer n $n$ -Menge ist eine Multimenge, deren Gesamtzahl an Elementen (kommt also beispielsweise ein Element doppelt vor, zählt es auch zweifach) gleich k $k$ ist. Die Multimenge wird mit Elementen aus der n $n$ -Menge besetzt, wobei Wiederholungen zugelassen sind.

Die Anzahl dieser Kombinationen ist \binom{n + k - 1}{k} $(\binom{n + k - 1}{k})$ .

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