0.0.1 ↑ 30. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Exzerpt der Kapitel 3.1–3.3 des Stochastik-Buchs
Jede Teilmenge eines Ergebnisraums ist ein Ereignis.
Ein Ereignis gilt genau dann als eingetroffen, wenn das Ereignis ein eingetroffenes Ergebnis enthält.
Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum \mathcal{P}.
Die leere Menge \varnothing ist ebenfalls eine Teilmenge des Ergebnisraums, sie ist also ebenfalls ein Ereignis. Dieses Ereignis kann aber natürlichen im Modell nicht auftreten (es ist das unmögliche Ereignis).
Der Ergebnisraum selbst ist auch eine Teilmenge von sich, er ist also auch ein Ereignis. Es tritt immer ein, es ist das sichere Ereignis.
Ereignisse, die nur aus einem Ergebnis bestehen (z.B. \left\{ \omega \right\}) heißen Elementarereignisse. \omega \neq \left\{ \omega \right\};
Sind A und B Ereignisse und gilt A \subset B, so tritt Ereignis B "automatisch" auch ein, wenn Ereignis A eintritt.
Zwei Ereignisse A und B sind gleich, wenn gilt: A \subset B \wedge B \subset A;
Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn gilt: A \cap B = \varnothing;
Mehr als oder genau zwei Ereignisse heißen paarweise unvereinbar, wenn jeweils zwei von ihnen unvereinbar sind.
Eine Menge von paarweise unvereinbaren Ereignissen A_1, A_2, ... heißt Zerlegung von A wenn gilt: A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \ldots;
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 29, Aufgabe 1
Beim Würfeln interessiere die geworfene Augenzahl. Dabei seien folgende Ereignisse festgehalten:
A = \left\{ 2, 4 \right\}; \quad B = \left\{ 2, 6 \right\}; \quad C = \left\{ 2,4,6 \right\};
- a)
Bilden Sie
\overline{A} = \left\{ 1,3,5,6 \right\};
\overline{B} = \left\{ 1,3,4,5 \right\};
\overline{C} = \left\{ 1,3,5 \right\};
A \cap B = \left\{ 2 \right\};
\overline{A} \cap B = \left\{ 6 \right\};
A \cap \overline{B} = \left\{ 4 \right\};
\overline{A} \cap \overline{B} = \left\{ 1,3,5 \right\};
A \cup B = \left\{ 2,4,6 \right\};
\overline{A} \cup B = \left\{ 1,2,3,5,6 \right\};
A \cup \overline{B} = \left\{ 1,2,3,4,5 \right\};
\overline{A} \cup \overline{B} = \left\{ 1,3,4,5,6 \right\};
- b)
Interpretieren Sie das Ereignis \left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right) und stellen Sie es im Venn-Diagramm und als Menge dar.
\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right) = \left\{ x \in \Omega \bigm| \left(x \in A \vee x \in B\right) \wedge \overline{x \in A \wedge x \in B} \right\} = \left\{ 4, 6 \right\};
