«K12/K13» 36. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 36. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 104, Aufgabe 37

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln

a)

Augensumme 7$7$ oder 11$11$,

b)

eine gerade Augensumme und

c)

eine ungerade Augensumme zu werfen.

\Omega = \left\{ 1,2,\ldots,6 \right\}^2;$\Omega ={\left\{1,2,\dots ,6\right\}}^2;$ (Laplace)

⇒ \left|\Omega\right| = 6^2 = 36;$\left|\Omega \right|=6^2=36;$

a)

E_7 = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge a + b = 7 \right\};$E_7=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a,b\right)\in \Omega \wedge a+b=7\right\};$

a + b = 7; \Rightarrow a = 7 - b;$a+b=7;\Rightarrow a=7-b;$

1 \leq 7 - b \leq 6; \Rightarrow b \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\};$1\le 7-b\le 6;\Rightarrow b\in \left\{1,2,3,4,5,6\right\};$

⇒ P(E_7) = \frac{\left|E_7\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{1}{6};$P\left(E_7\right)=\frac{\left|E_7\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{6};$

E_{11} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge a + b = 11 \right\};$E_{11}=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a,b\right)\in \Omega \wedge a+b=11\right\};$

a + b = 11; \Rightarrow a = 11 - b;$a+b=11;\Rightarrow a=11-b;$

1 \leq 11 - b \leq 6; \Rightarrow b \in \left\{ 5,6 \right\};$1\le 11-b\le 6;\Rightarrow b\in \left\{5,6\right\};$

⇒ P(E_{11}) = \frac{\left|E_{11}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{1}{18};$P\left(E_{11}\right)=\frac{\left|E_{11}\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{18};$

b)

E_{\text{gerade}} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge \left(a + b\right) \bmod 2 = 0 \right\};$E_{\text{gerade}}=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a,b\right)\in \Omega \wedge \left(a+b\right)mod2=0\right\};$

⇒ P(E_{\text{gerade}}) = \frac{\left|E_{\text{gerade}}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2};$P\left(E_{\text{gerade}}\right)=\frac{\left|E_{\text{gerade}}\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2};$

c)

E_{\text{ungerade}} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge \left(a + b\right) \bmod 2 \neq 0 \right\};$E_{\text{ungerade}}=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a,b\right)\in \Omega \wedge \left(a+b\right)mod2\ne 0\right\};$

⇒ P(E_{\text{ungerade}}) = \frac{\left|E_{\text{ungerade}}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2};$P\left(E_{\text{ungerade}}\right)=\frac{\left|E_{\text{ungerade}}\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2};$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 104, Aufgabe 39

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

• A_1$A_1$: "Augenzahl 6$6$ nur beim 1. Wurf"

  P(A_1) = \frac{1}{6} \frac{5}{6} \frac{5}{6} = \frac{25}{216};$P\left(A_1\right)=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\frac{5}{6}=\frac{25}{216};$

• A_2$A_2$: "Augenzahl 6$6$ bei genau einem Wurf"

  P(A_2) = 3 P(A_1) = \frac{25}{72};$P\left(A_2\right)=3P\left(A_1\right)=\frac{25}{72};$

• A_3$A_3$: "Augenzahl 6$6$ nur beim 1. und 3. Wurf"

  P(A_3) = \frac{1}{6} \frac{5}{6} \frac{1}{6} = \frac{5}{216};$P\left(A_3\right)=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\frac{1}{6}=\frac{5}{216};$

• A_4$A_4$: "Augenzahl 6$6$ bei genau zwei Würfen"

  P(A_4) = 3 P(A_3) = \frac{5}{72};$P\left(A_4\right)=3P\left(A_3\right)=\frac{5}{72};$

• A_5$A_5$: "Augenzahl 6$6$ bei mindestens einem Wurf"

  P(A_5) = \frac{\left|A_5\right|}{36^3} = \frac{3 \cdot \left(5^2 + 5\right) + 1}{6^3} = \frac{91}{216};$P\left(A_5\right)=\frac{\left|A_5\right|}{36^3}=\frac{3\cdot \left(5^2+5\right)+1}{6^3}=\frac{91}{216};$

• A_6$A_6$: "Augenzahl 6$6$ bei mindestens zwei Würfen"

  P(A_6) = \frac{\left|A_6\right|}{36^3} = \frac{3 \cdot \left(1 \cdot 1 \cdot 5\right) + 1}{6^3} = \frac{2}{27};$P\left(A_6\right)=\frac{\left|A_6\right|}{36^3}=\frac{3\cdot \left(1\cdot 1\cdot 5\right)+1}{6^3}=\frac{2}{27};$