0.0.1 ↑ 38. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 106, Aufgabe 45
Ein Kartenspiel bestehe aus 32 Karten. Es wird gut durchgemischt. Jeder der 4 Spieler erhält gleich viele Karten. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
[Prinzipiell Aufgabe so unlösbar, da erstens nicht klar ist, dass alle Karten aufgeteilt werden und zweitens über den Kartentyp keine Aussage getroffen wurde...]
{} \Omega = {} \left\{ (a,b,c,d) \Biggm| \begin{array}{@{}cl} {} & a,b,c,d \subset {} \left\{ 7,8,9,10,\text{B},\text{D},\text{K},\text{A} \right\} \times {} \left\{ \heartsuit,\lozenge,\spadesuit,\clubsuit \right\} \\ \wedge & {} \left|a\right| = \left|b\right| = \left|c\right| = \left|d\right| = 8 \\ \wedge & {} \forall x \in \left\{ a,b,c,d \right\}\!\colon\, {} \forall y \in \left\{ a,b,c,d \right\} \setminus \left\{x\right\}\!\colon\, {} x \cap y = \varnothing; {} \end{array} {} \right\}\!; (Laplace)
A: "Jeder Spieler bekommt ein Ass"
\displaystyle {} P(A) = \frac{ {} 4! \cdot 1 \cdot \binom{28}{7} \binom{21}{7} \binom{14}{7} \binom{7}{7} {} }{ {} \binom{32}{8} \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8} {} } = \frac{512}{4495};
B: "Ein bestimmter Spieler bekommt lauter Herz"
\displaystyle {} P(B) = \frac{ {} \binom{8}{8} \cdot \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8} {} }{ {} \binom{32}{8} \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8} {} } = \frac{1}{\binom{32}{8}} = \frac{1}{10518300};
C: "Ein beliebiger Spieler bekommt lauter Herz"
\displaystyle {} P(C) = 4 P(B) = \frac{1}{2629575};
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 106, Aufgabe 46
Beim Skatspiel bekommen drei Spieler je 10 Karten, zwei Karten liegen im Skat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
- a)
die erste verteilte Karte ein Unter ist.
P(A) = \frac{4}{32};
- b)
die ersten beiden verteilten Karten Unter sind.
P(B) = \frac{4}{32} \frac{3}{31};
- c)
Eichel- und Grün-Unter im Skat liegen.
P(C) = \frac{1}{32} \frac{1}{31} \cdot 2 = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{32}{2}};
- d)
der erste Spieler alle Unter und Asse erhält.
P(D) = \frac{\binom{8}{8} \cdot \binom{24}{2}}{\binom{32}{10}};
- e)
ein Spieler alle Unter und alle Asse erhält.
P(E) = 3 P(D);
0.0.1.3 ↑ Exzerpt von Kapitel 5.5 des Stochastik-Buchs
Bei der Aufstellung eines Ergebnisraums, der die Laplace-Annahme erfüllen soll, ist besondere Vorsicht geboten.
Beispielsweise ist beim Werfen zweier unterscheidbarer "Laplace"-Würfel \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}^2 ein Laplace-Raum, \left\{ \left\{_{\text{M}} a,b \right\} \bigm| a,b \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right\} jedoch nicht.
Daher sollte man immer die Tabelle im Hinterkopf haben, die wir aufgestellt haben.