«K12/K13» 46. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 46. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 121, Aufgabe 4

Bei einer Röntgenreihenuntersuchung bedeute

• H_0$H_0$: "Die untersuchte Person ist nicht an Tbc erkrankt"

• H_1$H_1$: "Die untersuchte Person ist an Tbc erkrankt"

• T_0$T_0$: "Das Röntgenbild ergibt keinen Tbc-Verdacht"

• T_1$T_1$: "Das Röntgenbild ergibt einen Tbc-Verdacht"

Interpretieren Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

• P_{H_1}(T_0)$P_{H_1}\left(T_0\right)$: Kein Verdacht trotz Erkrankung

• P_{H_0}(T_1)$P_{H_0}\left(T_1\right)$: Verdacht trotz Gesundheit

• P_{T_0}(H_1)$P_{T_0}\left(H_1\right)$: Erkrankung trotz Fehlen eines Verdachts

• P_{T_1}(H_0)$P_{T_1}\left(H_0\right)$: Gesundheit trotz Verdacht

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 6

Folgende Ereignisse seien definiert:

• H$H$: "Eine Person ist HIV-infiziert"

• \overline{H}$\overline{H}$: "Eine Person ist nicht HIV-infiziert"

• T$T$: "Der HIV-Test liefert ein positives Ergebnis"

• \overline{T}$\overline{T}$: "Der HIV-Test liefert ein negatives Ergebnis"

Die Güte des HIV-Tests lässt sich mit den Wahrscheinlichkeiten in folgender Vierfeldertafel beschreiben:

Berechnen Sie daraus

a)

die so genannte Sensitivität P_H(T)$P_H\left(T\right)$ und Spezifität P_{\overline{H}}(\overline{T})$P_{\overline{H}}\left(\overline{T}\right)$ des Tests.

P_H(T) = \frac{P(H \cap T)}{P(H)} = \frac{0{,}999 \cdot 10^{-3}}{1{,}000 \cdot 10^{-3}} = 99{,}9 \,\%;$P_H\left(T\right)=\frac{P\left(H\cap T\right)}{P\left(H\right)}=\frac{0,999\cdot 10^{-3}}{1,000\cdot 10^{-3}}=99,9\%;$

P_{\overline{H}}(\overline{T}) = \frac{P(\overline{H} \cap \overline{T})}{P(\overline{H})} = \frac{994 \cdot 10^{-3}}{999 \cdot 10^{-3}} \approx 99{,}5 \,\%;$P_{\overline{H}}\left(\overline{T}\right)=\frac{P\left(\overline{H}\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{H}\right)}=\frac{994\cdot 10^{-3}}{999\cdot 10^{-3}}\approx 99,5\%;$

b)

die so genannten Aussagewerte P_T(H)$P_T\left(H\right)$ und P_{\overline{T}}(\overline{H})$P_{\overline{T}}\left(\overline{H}\right)$ des Tests.

P_T(H) = \frac{P(H \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}999 \cdot 10^{-3}}{5{,}999 \cdot 10^{-3}} \approx 16{,}7 \,\%;$P_T\left(H\right)=\frac{P\left(H\cap T\right)}{P\left(T\right)}=\frac{0,999\cdot 10^{-3}}{5,999\cdot 10^{-3}}\approx 16,7\%;$

P_{\overline{T}}(\overline{H}) = \frac{P(\overline{H} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \frac{994 \cdot 10^{-3}}{994{,}001 \cdot 10^{-3}} \approx 100 \,\%;$P_{\overline{T}}\left(\overline{H}\right)=\frac{P\left(\overline{H}\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}=\frac{994\cdot 10^{-3}}{994,001\cdot 10^{-3}}\approx 100\%;$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 7

a)

Berechnen Sie bei einem normalen Würfel P_A(B)$P_A\left(B\right)$ für

\alpha$\alpha$)

A = \left\{ 4 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1 \right\}\!;$A=\left\{4\right\};B=\left\{1\right\};$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 0;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=0;$

\beta$\beta$)

A = \left\{ 1, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 6 \right\}\!;$A=\left\{1,5\right\};B=\left\{1,2,3,4,6\right\};$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} = 50 \,\%;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{1}{2}=50\%;$

\gamma$\gamma$)

A = \left\{ 2, 4, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}\!;$A=\left\{2,4,5\right\};B=\left\{1,2,3,4\right\};$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7 \,\%;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{2}{3}\approx 66,7\%;$

\delta$\delta$)

A = \left\{ 2, 3, 4, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 2, 3, 4 \right\}\!;$A=\left\{2,3,4,5\right\};B=\left\{2,3,4\right\};$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3}{4} = 75 \,\%;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{3}{4}=75\%;$

\varepsilon$\varepsilon$)

A = \left\{ 1, 3, 6 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}\!;$A=\left\{1,3,6\right\};B=\left\{1,2,3,4,5,6\right\};$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3}{3} = 1;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{3}{3}=1;$

b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit zwei Würfeln das Maximum der Augenzahlen gleich 5$5$ ist unter der Bedingung, dass das Minimum der Augenzahlen höchstens 3$3$ ist.

A = \left\{ (a,b) \bigm| \left(a < b \wedge a \leq 3\right) \vee \left(b < a \wedge b \leq 3\right) \vee a = b = 3 \right\}\!; \\ \Rightarrow \left|A\right| = 27;$A=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a<b\wedge a\le 3\right)\vee \left(b<a\wedge b\le 3\right)\vee a=b=3\right\};\Rightarrow \left|A\right|=27;$

B = \left\{ (a,b) \bigm| \left(a > b \wedge a = 5\right) \vee \left(b > a \wedge b = 5\right) \vee a = b = 5 \right\}\!; \\ \Rightarrow \left|B\right| = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 1 = 9;$B=\left\{\left(a,b\right)\mid \left(a>b\wedge a=5\right)\vee \left(b>a\wedge b=5\right)\vee a=b=5\right\};\Rightarrow \left|B\right|=1\cdot 4+4\cdot 1+1=9;$

⇒ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{6}{27} \approx 22{,}2 \,\%;$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{6}{27}\approx 22,2\%;$

0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 9

Aus einer Urne, die eine rote, fünf weiße und zwei schwarze Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es gelte die Laplace-Annahme. Man berechne unter Verwendung eines Ergebnisbaums die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

• A$A$: "Die beim ersten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

  P(A) = \underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{5}{6}}_{1,0,0} + \underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{1}{6}}_{1,0,1} + \underbrace{\frac{2}{8} \frac{1}{7} \frac{6}{6}}_{1,1,0} = \frac{1}{8 \cdot 7 \cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;$P\left(A\right)=\underset{1,0,0}{\underbrace{\frac{2}{8}\frac{6}{7}\frac{5}{6}}}+\underset{1,0,1}{\underbrace{\frac{2}{8}\frac{6}{7}\frac{1}{6}}}+\underset{1,1,0}{\underbrace{\frac{2}{8}\frac{1}{7}\frac{6}{6}}}=\frac{1}{8\cdot 7\cdot 6}\cdot \left(2\cdot 6\right)\cdot \left(7\right)=25\%;$

• B$B$: "Die beim zweiten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

  P(B) = \underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{5}{6}}_{0,1,0} + \underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{1}{6}}_{0,1,1} + \underbrace{\frac{2}{8} \frac{1}{7} \frac{6}{6}}_{1,1,0} = \frac{1}{8 \cdot 7 \cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;$P\left(B\right)=\underset{0,1,0}{\underbrace{\frac{6}{8}\frac{2}{7}\frac{5}{6}}}+\underset{0,1,1}{\underbrace{\frac{6}{8}\frac{2}{7}\frac{1}{6}}}+\underset{1,1,0}{\underbrace{\frac{2}{8}\frac{1}{7}\frac{6}{6}}}=\frac{1}{8\cdot 7\cdot 6}\cdot \left(2\cdot 6\right)\cdot \left(7\right)=25\%;$

• C$C$: "Die beim dritten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

  P(C) = \underbrace{\frac{6}{8} \frac{5}{7} \frac{2}{6}}_{0,0,1} + \underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{1}{6}}_{0,1,1} + \underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{1}{6}}_{1,0,1} = \frac{1}{8 \cdot 7 \cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;$P\left(C\right)=\underset{0,0,1}{\underbrace{\frac{6}{8}\frac{5}{7}\frac{2}{6}}}+\underset{0,1,1}{\underbrace{\frac{6}{8}\frac{2}{7}\frac{1}{6}}}+\underset{1,0,1}{\underbrace{\frac{2}{8}\frac{6}{7}\frac{1}{6}}}=\frac{1}{8\cdot 7\cdot 6}\cdot \left(2\cdot 6\right)\cdot \left(7\right)=25\%;$