«K12/K13» 47. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 47. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 130, Aufgabe 16

Zur Früherkennung einer Stoffwechselkrankheit bei Säuglingen wird eine neue Untersuchungsmethode entwickelt. Mit ihr wird die Krankheit in 80 \,\%$80\%$ der Fälle zuverlässig erkannt, während der Anteil der irrtümlich als krank eingestuften Säuglinge bei 2 \,\%$2\%$ liegt. Durchschnittlich tritt die Krankheit bei 1{,}0 \cdot 10^5$1,0\cdot 10^5$ Geburten hundertmal auf.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein untersuchter Säugling tatsächlich erkrankt ist, obwohl die Untersuchung keinen zu­ver­läs­si­gen Hinweis darauf ergeben hat?

P_{H_1}(T_1) = 80 \,\%; \quad P_{H_0}(T_1) = 2 \,\%;$P_{H_1}\left(T_1\right)=80\%;P_{H_0}\left(T_1\right)=2\%;$

P(H_1) = \frac{100}{1{,}0 \cdot 10^5};$P\left(H_1\right)=\frac{100}{1,0\cdot 10^5};$

P_{T_0}(H_1) = \frac{P(H_1) P_{H_1}(T_0)}{P(H_1) P_{H_1}(T_0) + P(H_0) P_{H_0}(T_0)} = \frac{P(H_1) \left(1 - P_{H_1}(T_1)\right)}{P(H_1) \left(1 - P_{H_1}(T_1)\right) + \left(1 - P(H_1)\right) \left(1 - P_{H_0}(T_1)\right)} \approx 2{,}0 \cdot 10^{-4};$P_{T_0}\left(H_1\right)=\frac{P\left(H_1\right)P_{H_1}\left(T_0\right)}{P\left(H_1\right)P_{H_1}\left(T_0\right)+P\left(H_0\right)P_{H_0}\left(T_0\right)}=\frac{P\left(H_1\right)\left(1-P_{H_1}\left(T_1\right)\right)}{P\left(H_1\right)\left(1-P_{H_1}\left(T_1\right)\right)+\left(1-P\left(H_1\right)\right)\left(1-P_{H_0}\left(T_1\right)\right)}\approx 2,0\cdot 10^{-4};$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 131, Aufgabe 20

Bei einer Übertragung der Zeichen "Punkt" und "Strich" in einem Fernmeldesystem werden durch Störungen im Mittel 5 \,\%$5\%$ der gesendeten Punkte als Striche und 3 \,\%$3\%$ der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Das Verhältnis von gesendeten Punkten zu gesendeten Strichen ist \frac{3}{5}$\frac{3}{5}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen empfangen wurde, falls a) Punkt, b) Strich empfangen wurde?

P_{H_{\circ}}(T_{-}) = 5 \,\%;$P_{H_{\circ }}\left(T_{-}\right)=5\%;$

P_{H_{-}}(T_{\circ}) = 3 \,\%;$P_{H_{-}}\left(T_{\circ }\right)=3\%;$

\frac{P(H_{\circ})}{P(H_{-})} = \frac{3}{5};$\frac{P\left(H_{\circ }\right)}{P\left(H_{-}\right)}=\frac{3}{5};$ ⇒ P(H_{\circ}) = \frac{3}{8};$P\left(H_{\circ }\right)=\frac{3}{8};$

a)

P_{T_{\circ}}(H_{\circ}) = \frac{P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{\circ})}{P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{\circ}) + P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{\circ})} = 95 \,\%;$P_{T_{\circ }}\left(H_{\circ }\right)=\frac{P\left(H_{\circ }\right)P_{H_{\circ }}\left(T_{\circ }\right)}{P\left(H_{\circ }\right)P_{H_{\circ }}\left(T_{\circ }\right)+P\left(H_{-}\right)P_{H_{-}}\left(T_{\circ }\right)}=95\%;$

b)

P_{T_{-}}(H_{-}) = \frac{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-})}{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-}) + P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{-})} = 97 \,\%;$P_{T_{-}}\left(H_{-}\right)=\frac{P\left(H_{-}\right)P_{H_{-}}\left(T_{-}\right)}{P\left(H_{-}\right)P_{H_{-}}\left(T_{-}\right)+P\left(H_{\circ }\right)P_{H_{\circ }}\left(T_{-}\right)}=97\%;$