«K12/K13» 48. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 48. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 130, Aufgabe 15

a)

Um die Güte eines Tests zur Untersuchung von Neurotikern zu prüfen, werden 100$100$ Versuchspersonen, von denen 10$10$ neurotisch sind, getestet. Von den gesunden Versuchspersonen erbrachte der Test bei 20 \,\%$20\%$ den Hinweis auf Neurotizismus, von den Neurotikern bei 90 \,\%$90\%$.

Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 33{,}3 \,\%$33,3\%$, dass eine Person tatsächlich neurotisch ist, wenn der Test auf die Krankheit hingewiesen hat.

P(N) = 10 \,\%;$P\left(N\right)=10\%;$

P_N(T) = 90 \,\%; \quad P_{\overline{N}}(T) = 20 \,\%;$P_N\left(T\right)=90\%;P_{\overline{N}}\left(T\right)=20\%;$

⇒ P_T(N) = \frac{P(N) P_N(T)}{P(N) P_N(T) + P(\overline{N}) P_{\overline{N}}(T)} \approx 33{,}3 \,\%;$P_T\left(N\right)=\frac{P\left(N\right)P_N\left(T\right)}{P\left(N\right)P_N\left(T\right)+P\left(\overline{N}\right)P_{\overline{N}}\left(T\right)}\approx 33,3\%;$

b)

Nach Überarbeitung des Tests wird unter den genannten Bedingungen (100$100$ Versuchspersonen, 10$10$ davon neurotisch) mit anderen Versuchspersonen ein neuer Versuch unternommen. Man erhält nun bei den Gesunden nur noch in 10 \,\%$10\%$ und bei den Kranken in 95 \,\%$95\%$ der Fälle Hinweis auf Neorotizismus.

Zeigen Sie: Die Wirksamkeit des verbesserten Tests ist gegenüber der ursprünglichen Fassung von 33{,}3 \,\%$33,3\%$ auf 51{,}4 \,\%$51,4\%$ gestiegen.

P(N) = 10 \,\%;$P\left(N\right)=10\%;$

P_N(T) = 95 \,\%; \quad P_{\overline{N}}(T) = 10 \,\%;$P_N\left(T\right)=95\%;P_{\overline{N}}\left(T\right)=10\%;$

⇒ P_T(N) = \frac{P(N) P_N(T)}{P(N) P_N(T) + P(\overline{N}) P_{\overline{N}}(T)} \approx 51{,}4 \,\%;$P_T\left(N\right)=\frac{P\left(N\right)P_N\left(T\right)}{P\left(N\right)P_N\left(T\right)+P\left(\overline{N}\right)P_{\overline{N}}\left(T\right)}\approx 51,4\%;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 131, Aufgabe 19

An einem Ort sei an einem Fünftel aller Tage schlechtes Wetter; an den übrigen Tagen sei es gut. Es habe sich herausgestellt, dass am Vorabend eines Tages mit gutem Wetter die Wettervorhersage mit 70 \,\%$70\%$ Wahrscheinlichkeit gut, mit 20 \,\%$20\%$ Wahrscheinlichkeit wechselhaft und im Übrigen schlecht lautet. Ein Schlechtwettertag sei mit 60 \,\%$60\%$ zutreffend angekündigt, mit 30 \,\%$30\%$ als wechselhaft und sonst als gut vorausgesagt.

a)

Verwenden Sie für das Wetter die Bezeichnungen W_{\text{g}}$W_{\text{g}}$ und W_{\text{s}}$W_{\text{s}}$, für die Vorhersage V_{\text{g}}$V_{\text{g}}$, V_{\text{s}}$V_{\text{s}}$ und V_{\text{w}}$V_{\text{w}}$.

P(W_{\text{s}}) = 20 \,\%; \quad P(W_{\text{g}}) = 80 \,\%;$P\left(W_{\text{s}}\right)=20\%;P\left(W_{\text{g}}\right)=80\%;$

P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{g}}) = 70 \,\%; \quad P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{w}}) = 20 \,\%; \quad P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{s}}) = 10 \,\%;$P_{W_{\text{g}}}\left(V_{\text{g}}\right)=70\%;P_{W_{\text{g}}}\left(V_{\text{w}}\right)=20\%;P_{W_{\text{g}}}\left(V_{\text{s}}\right)=10\%;$

P_{V_{\text{s}}}(W_{\text{g}}) = 60 \,\%; \quad P_{V_{\text{w}}}(W_{\text{s}}) = 30 \,\%; \quad P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{s}}) = 10 \,\%;$P_{V_{\text{s}}}\left(W_{\text{g}}\right)=60\%;P_{V_{\text{w}}}\left(W_{\text{s}}\right)=30\%;P_{V_{\text{g}}}\left(W_{\text{s}}\right)=10\%;$

b)

Heute abend wird gutes (schlechtes) Wetter angesagt. Wie zuverlässig ist diese Vorhersage?

P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{g}}) = 1 - P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{s}}) = 90 \,\%;$P_{V_{\text{g}}}\left(W_{\text{g}}\right)=1-P_{V_{\text{g}}}\left(W_{\text{s}}\right)=90\%;$

P_{V_{\text{s}}}(W_{\text{s}}) = 60 \,\%;$P_{V_{\text{s}}}\left(W_{\text{s}}\right)=60\%;$

(XXX TEILWEISE (?) FALSCH)