«K12/K13» 5. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 5. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 10

\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left(x - \sin x\cos x\right) + C_1;$\int \; <!--nolimits-->{sin}^{2}x\text{d}x=\frac{1}{2}\left(x-sinxcosx\right)+C_1;$

\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\left(\sin x - \cos x\right)^2 + C_2;$\int \; <!--nolimits-->{sin}^{2}x\text{d}x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}{\left(sinx-cosx\right)}^2+C_2;$

Welcher Zusammenhang besteht zwischen C_1$C_1$ und C_2$C_2$?

\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\left(\sin x - \cos x\right)^2 + C_2 - \frac{1}{2}\left(x - \sin x\cos x\right) - C_1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x\cos x + C_2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x\cos x - C_1 = \frac{1}{4} - C_1 + C_2;$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}{\left(sinx-cosx\right)}^2+C_2-\frac{1}{2}\left(x-sinxcosx\right)-C_1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}sinxcosx+C_2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}sinxcosx-C_1=\frac{1}{4}-C_1+C_2;$

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 11

Gib alle Stammfunktionen von \mathrm{f}$\text{f}$ an mit

a)

\mathrm{f}(x) = \begin{cases} {} 0 & \text{f"ur } 0 \leq x < 1; \\ {} 1 & \text{f"ur } 1 < x; \end{cases}$\text{f}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0\hfill & \text{f”ur }0\le x<1;\hfill \\ 1\hfill & \text{f”ur }1<x;\hfill \end{array}\right.$

\int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}_c(x) = \begin{cases} {} 1 + C_1 & \text{f"ur } 0 \leq x < 1; \\ {} x + C_2 & \text{f"ur } 1 < x; \end{cases}$\int \; <!--nolimits-->\text{f}\left(x\right)\text{d}x={\text{F}}_c\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1+C_1\hfill & \text{f”ur }0\le x<1;\hfill \\ x+C_2\hfill & \text{f”ur }1<x;\hfill \end{array}\right.$

(Nachweis der Differenzierbarkeit von \mathrm{F}_c${\text{F}}_c$ an der Stelle 1$1$ unnötig, da 1 \notin D_{\mathrm{f}}$1\notin D_{\text{f}}$)

b)

\mathrm{f}(x) = x + \operatorname{sgn} x; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\};$\text{f}\left(x\right)=x+sgnx;D_{\text{f}}=\mathbb{ℝ}\setminus \left\{0\right\};$

\int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \begin{cases} {} \frac{1}{2}x^2 - x + C_1 & \text{f"ur } x < 0; \\ {} \frac{1}{2}x^2 + x + C_2 & \text{f"ur } x > 0; \end{cases}$\int \; <!--nolimits-->\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{x}^2-x+C_1\hfill & \text{f”ur }x<0;\hfill \\ \frac{1}{2}{x}^2+x+C_2\hfill & \text{f”ur }x>0;\hfill \end{array}\right.$

0.0.1.3 ↑ Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 12

Zeige, dass \mathrm{F}$\text{F}$ und \mathrm{G}$\text{G}$ Stammfunktionen der gleichen Funktion sind:

\mathrm{F}(x) = \sqrt{x + 1};$\text{F}\left(x\right)=\sqrt{x+1};$ \\$$ \mathrm{G}(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}};$\text{G}\left(x\right)=\frac{x}{1+\sqrt{x+1}};$

D_{\mathrm{F}} = D_{\mathrm{G}} = \left]-1, \infty\right[;$D_{\text{F}}=D_{\text{G}}=\left]-1,\infty \right[;$

Wie heißt die Konstante, durch die sich \mathrm{F}$\text{F}$ und \mathrm{G}$\text{G}$ unterscheiden?

\mathrm{F}'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}};${\text{F}}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}};$

\mathrm{G}'(x) = \dfrac{\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) - x\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{1 + 2\sqrt{x + 1} + x + 1} = \dfrac{2\sqrt{x + 1} + x + 2}{2\sqrt{x + 1}\left(2\sqrt{x + 1} + x + 2\right)} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}};${\text{G}}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(1+\sqrt{x+1}\right)-x\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1+2\sqrt{x+1}+x+1}=\frac{2\sqrt{x+1}+x+2}{2\sqrt{x+1}\left(2\sqrt{x+1}+x+2\right)}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}};$

⇒ \mathrm{F}'(x) = \mathrm{G}'(x);${\text{F}}^{\prime }\left(x\right)={\text{G}}^{\prime }\left(x\right);$

\mathrm{F}(x) - \mathrm{G}(x) = \sqrt{x + 1} - \dfrac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} = \dfrac{x + \sqrt{x + 1} - x + 1}{1 + \sqrt{x + 1}} = 1;$\text{F}\left(x\right)-\text{G}\left(x\right)=\sqrt{x+1}-\frac{x}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{x+\sqrt{x+1}-x+1}{1+\sqrt{x+1}}=1;$