0.0.1 ↑ 53. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 21
Wir betrachten das zweimalige Werfen eines fairen Würfels und die drei Ereignisse A_i für i = 1,2,3. A_1 bzw. A_2 sei das Ereignis, dass beim 1. bzw. 2. Wurf eine ungerade Augenzahl fällt; A_3 sei das Ereignis, dass die Summe der geworfenen Augenzahlen ungerade ist.
- a)
Zeigen Sie, dass je zwei dieser drei Ereignisse unabhängig sind.
\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}^2;
A_1 = \left\{ 1,3,5 \right\} \times \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\!; ⇒ \left|A_1\right| = 3 \cdot 6 = 18;
A_2 = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \times \left\{ 1,3,5 \right\}\!; ⇒ \left|A_2\right| = 6 \cdot 3 = 18;
A_3 = \left\{ (a,b) \middle| \left(a + b\right) \bmod 2 = 1 \right\}\!; ⇒ \left|A_3\right| = 6 \cdot 3 = 18;
\frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) P(A_2) = \frac{1}{4};
\frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) P(A_3) = \frac{1}{4};
\frac{1}{4} = P(A_2 \cap A_3) = P(A_1) P(A_3) = \frac{1}{4};
- b)
Zeigen Sie, dass die A_i abhängig sind.
0 = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \neq P(A_1) P(A_2) P(A_3) = \frac{1}{8};
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 22
Für drei Ereignisse A, B, C mit positiven Wahrscheinlichkeiten gelte
P(A) = P_B(A) = P_C(A) = P_{B \cap C}(A);
P(B) = P_A(B) = P_C(B) = P_{A \cap C}(B);
P(C) = P_A(C) = P_B(C) = P_{A \cap B}(C);
Zeigen Sie, dass diese drei Bedingungen mit den Multiplikationsregeln für drei unabhängige Ereignisse äquivalent sind.
P(A) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}; ⇔ P(A \cap B) = P(A) P(B);
P(A) = P_C(A) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}; ⇔ P(A \cap C) = P(A) P(C);
P(B) = P_C(B) = \frac{P(B \cap C)}{P(C)}; ⇔ P(B \cap C) = P(B) P(C);
P(A) = P_{B \cap C}(A) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)}; ⇔ \\ P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B \cap C) = P(A) P(B) P(C);