0.0.1 ↑ 54. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 27
In einer Massenproduktion werden Schrauben einer bestimmten Sorte hergestellt. Aus dem Sortiment wird eine Schraube zufällig herausgegriffen. Erfahrungsgemäß ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Schraube 0{,}1 und für eine fehlerhafte Schraubenmutter 0{,}05. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Schraubenkopf und Schraubenmutter zusammenpassen, wenn sie unabhängig hergestellt werden?
\left(1 - 0{,}1\right) \left(1 - 0{,}05\right) = 85{,}6 \,\%;
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 28
Beim Zusammenbau eines Elektrogeräts werden fünf Widerstände und vier Kondensatoren verwendet. Die Ausschusswahrscheinlichkeit für die Widerstände sei 4 \,\%, für die Kondensatoren 5 \,\%. Man berechne bei geeigneten Unabhängigkeitsmaßnahmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: "Mindestens ein Bauteil ist fehlerhaft".
P(A) = 1 - \left(1 - 4 \,\%\right)^5 \left(1 - 5 \,\%\right)^4 \approx 33{,}6 \,\%; (XXX nicht 100 % sicher)
0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 150, Aufgabe 29
Drei Glühlampen verschiedenen Fabrikats brennen erfahrungsgemäß mit den Wahrscheinlichkeiten w_1 = \frac{3}{4} bzw. w_2 = \frac{2}{3} bzw. w_3 = \frac{1}{2} länger als 1000 Stunden. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
- a)
genau zwei,
- b)
mindestens zwei,
- c)
höchstens zwei,
- d)
keine
mehr als 1000 Stunden brennen.
Dabei sind geeignete Unabhängigkeitsannahmen zu machen.
Welchen Ergebnisraum wird man zugrunde legen?
- a)
P(A_{\text{a}}) = P(1 \cap 2 \cap \overline{3}) + P(1 \cap \overline{2} \cap 3) + P(\overline{1} \cap 2 \cap 3) = w_1 w_2 \left(1 - w_3\right) + w_1 \left(1 - w_2\right) w_3 + \left(1 - w_1\right) w_2 w_3 \approx 45{,}8 \,\%;
- b)
P(A_{\text{b}}) = P(A_{\text{a}}) + P(1 \cap 2 \cap 3) = P(A_{\text{a}}) + w_1 w_2 w_3 \approx 70{,}8 \,\%;
- c)
P(A_{\text{c}}) = 1 - P(A_{\text{b}}) + P(A_{\text{a}}) = 75 \,\%;
- d)
P(A_{\text{d}}) = P(\overline{1} \cap \overline{2} \cap \overline{3}) = \left(1 - w_1\right) \left(1 - w_2\right) \left(1 - w_3\right) \approx 4{,}2 \,\%;
\Omega = \left\{ 0, 1 \right\}^3;