«K12/K13» 60. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 60. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 167, Aufgabe 19

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right);$

h_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2a\\-a\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu a \left(\!\begin{smallmatrix}0\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$h_a:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 2a\\ -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mu a\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right);$

a)

Beschreibe die Schar h_a$h_a$.

Geradenbüschel durch \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$. (Ebene, in der eine Gerade fehlt.)

b)

Für welche Werte von a$a$ sind g$g$ und h_a$h_a$ parallel (identisch)?

\left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = r \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2a\\-a\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}1\\ 2a\\ -a\end{array}\right);$

⇒ r = 2;$r=2;$

⇒ a = \frac{1}{2};$a=\frac{1}{2};$

c)

Für welche Werte von a$a$ schneiden sich g$g$ und h_a$h_a$?

Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇔ g$g$ und h_a$h_a$ schneiden sich niemals in einem Punkt.

d)

Für welche Werte von a$a$ sind g$g$ und h_a$h_a$ windschief?

Für a \neq \frac{1}{2}$a\ne \frac{1}{2}$.

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 168, Aufgabe 23

j_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$j_a:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5-5a\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1-a\\ a-1\\ 1\end{array}\right);$

a)

Welche Schargerade geht durch P(-45, 0, 5)$P\left(-45,0,5\right)$?

Gleichsetzen von \vec P$\overrightarrow{P}$ mit \vec X$\overrightarrow{X}$ bringt \mu = 5$\mu =5$ und a = 10$a=10$.

b)

Welche Schargeraden sind parallel zu \vec v = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, \vec w = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)$\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$?

a = 2$a=2$ und XXX

c)

Gestimme den geometrischen Ort der Punkte, die zum Parameterwert \mu = 2$\mu =2$ gehören.

g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) + 2\left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + a \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + a \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + a \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-3\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5-5a\\ 0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}1-a\\ a-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right);$

d)

Bestimme den geometrischen Ort der Spurpunkte in der x_1$x_1$-x_3$x_3$-Ebene.

\left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\0\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5-5a\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}1-a\\ a-1\\ 1\end{array}\right);$

Auflösen bringt für \mu$\mu$: \mu = \frac{5a - 5}{a - 1} = 5$\mu =\frac{5a-5}{a-1}=5$ für a \neq 1;$a\ne 1;$

Mit x_3 = \mu$x_3=\mu$ und x_1 = x_3 - a x_3$x_1=x_3-a{x}_3$ ergibt sich für den geometrischen Ort der Spurpunkte:

h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}5-5a\\0\\5\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\5\end{smallmatrix}\!\right) + a \left(\!\begin{smallmatrix}-5\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in \mathds{R} \cup \left\{ 1 \right \}\!;$h:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}5-5a\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right);a\in \mathbb{ℝ}\cup \left\{1\right\};$

Zusätzlich ergibt sich für a = 1$a=1$ noch: \vec X = \mu \left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{X}=\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right);$ Auf dieser Geraden liegen auch noch Spurpunkte.

e)

Zeige, dass je zwei Schargeraden windschief sind.

a_1 \neq a_2;$a_1\ne a_2;$

Ausschlus der Parallelität: \left(\!\begin{smallmatrix}1-a_1\\a_1-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) \neq r \left(\!\begin{smallmatrix}1-a_2\\a_2-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}1-a_1\\ a_1-1\\ 1\end{array}\right)\ne r\left(\begin{array}{c}1-a_2\\ a_2-1\\ 1\end{array}\right);$ → Widerspruch (a_1 = a_2$a_1=a_2$)

Ausschlus eines gemeinsamen Schnittpunkts: Gleichsetzen bringt \mu_1 = \mu_2${\mu }_1={\mu }_2$ und damit a_1 = a_2$a_1=a_2$; Widerspruch.