«K12/K13» 92. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 92. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 6

X$X$ sei die Azzahl der K$K$ beim viermaligen unabhänigen Werfen einer Laplace-Münze.

a)

Berechnen Sie E(X)$E\left(X\right)$.

E(X) = \sum\limits_{n = 0}^4 n \cdot \frac{\binom{4}{n}}{16} = 2 = 4 E(X_i) = 4 \cdot \left(0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2}\right);$E\left(X\right)=\sum _{n=0}^{4}n\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{n}\right)}{16}=2=4E\left(X_i\right)=4\cdot \left(0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}\right);$

b)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y = X - E(X)$Y=X-E\left(X\right)$ und berechnen Sie E(Y)$E\left(Y\right)$.

x$x$	0$0$	1$1$	2$2$	3$3$	4$4$
y$y$	-2$-2$	-1$-1$	0$0$	1$1$	2$2$
16 \,P(Y = y)$16P\left(Y=y\right)$	\binom{4}{0}$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{0}\right)$	\binom{4}{1}$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{1}\right)$	\binom{4}{2}$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{2}\right)$	\binom{4}{3}$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{3}\right)$	\binom{4}{4}$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{4}\right)$

E(Y) = E(X - E(X)) = E(X) - E(E(X)) = E(X) - E(X) = 0;$E\left(Y\right)=E\left(X-E\left(X\right)\right)=E\left(X\right)-E\left(E\left(X\right)\right)=E\left(X\right)-E\left(X\right)=0;$

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z = \left(X - E(X)\right)^2$Z={\left(X-E\left(X\right)\right)}^2$ und berechnen Sie E(Z)$E\left(Z\right)$.

E(Z) = \frac{1}{16} \left[4 \cdot 2 \cdot \binom{4}{0} + 1 \cdot 2 \cdot \binom{4}{1} + 0 \cdot \binom{4}{2}\right] = 1;$E\left(Z\right)=\frac{1}{16}\left[4\cdot 2\cdot \left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{0}\right)+1\cdot 2\cdot \left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{1}\right)+0\cdot \left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{4}{2}\right)\right]=1;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 7

Ein amerikanisches Roulette-Rad hat 38 Felder, von denen 18 rot, 18 schwarz und 2 grün sind. Jemand setzt einen Euro auf Rot. Er kann dabei einen Euro gewinnen oder verlieren. Zeigen Sie, dass der zu erwartende Verlust pro Spiel rund 5{,}3 \,\text{¢}$5,3$ beträgt.

E(V) = -1 \,\text{€} \cdot \frac{18}{38} + 1 \,\text{€} \cdot \frac{18 + 2}{38} \approx 5{,}3 \,\text{¢}$E\left(V\right)=-1\cdot \frac{18}{38}+1\cdot \frac{18+2}{38}\approx 5,3$.

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 9

Beim Würfelspiel "Zwei zu Eins" (Aufgabe 25 in 9) ist die Gewinnwahrscheinlichkeit \frac{11}{27}$\frac{11}{27}$. Wie groß müsste die Gewinnauszahlung beim Einsatz eines Euro sein bei einem fairen Spiel?

E(X) = \frac{11}{27} \cdot A + \frac{16}{27} \cdot -1 \,\text{€} = 0 \,\text{€};$E\left(X\right)=\frac{11}{27}\cdot A+\frac{16}{27}\cdot -1=0;$

A = \frac{16}{27} \cdot \frac{27}{11} \cdot 1 \,\text{€} = \frac{16}{11} \,\text{€};$A=\frac{16}{27}\cdot \frac{27}{11}\cdot 1=\frac{16}{11};$

\text{Ausschüttung} = 1 \,\text{€} + A;$\text{Ausschttung}=1+A;$ (faires Spiel ⇔ E(\text{Ausschüttung} = \text{Einsatz})$E\left(\text{Ausschttung}=\text{Einsatz}\right)$)

0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 11

Eine Lotterie verkauft 10000 Lose zu je 2 €. Drei Lose gewinnen je 2000 €, fünf Lose je 1000 € und 10 Lose je 500 €. Wie groß ist der erwartete Verlust des Lotteriespielers?

E(X) = \frac{1}{10000} \left[3 \cdot \left(-1998 \,\text{€}\right) + 5 \cdot \left(-998 \,\text{€}\right) + 10 \cdot \left(-498 \,\text{€}\right) + \left(10000 - 3 - 5 - 10\right) \cdot 2 \,\text{€}\right] = \frac{10000 \cdot 2 \,\text{€} - 3 \cdot 2000 \,\text{€} - 5 \cdot 1000 \,\text{€} - 10 \cdot 500 \,\text{€}}{10000} = 40 \,\text{¢};$E\left(X\right)=\frac{1}{10000}\left[3\cdot \left(-1998\right)+5\cdot \left(-998\right)+10\cdot \left(-498\right)+\left(10000-3-5-10\right)\cdot 2\right]=\frac{10000\cdot 2-3\cdot 2000-5\cdot 1000-10\cdot 500}{10000}=40;$

"wie tief geht die eigene Schizophrenie?"