«K12/K13» 94. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 94. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 29

Beim unabhängigen Werfen zweier unterscheidbarer Laplace-Würfel sei X$X$ die kleinste, Y$Y$ die größte der Augenzahlen.

a)

Stellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstafel auf und leiten Sie daraus die beiden Randverteilungen ab.

•  y\x |  1  2  3  4  5  6 |

•  ----+-------------------+---

•    1 |  1  0  0  0  0  0 |  1

•    2 |  2  1  0  0  0  0 |  3

•    3 |  2  2  1  0  0  0 |  5

•    4 |  2  2  2  1  0  0 |  7

•    5 |  2  2  2  2  1  0 |  9

•    6 |  2  2  2  2  2  1 | 11

•  ----+-------------------+---

•      | 11  9  7  5  3  1 | 36

b)

Begründen Sie anschaulich, warum X$X$ und Y$Y$ nicht unabhängig sind und bestätigen Sie dies auch durch Rechnung.

P(X = 2 \cap Y = 1) = 0 \neq \frac{9}{36} \frac{1}{36} = P(X = 2) P(Y = 1);$P\left(X=2\cap Y=1\right)=0\ne \frac{9}{36}\frac{1}{36}=P\left(X=2\right)P\left(Y=1\right);$

c)

Berechnen Sie E(X)$E\left(X\right)$, E(Y)$E\left(Y\right)$ und E(X + Y)$E\left(X+Y\right)$.

E(X) = \frac{1}{36}\left[ 1 \cdot 11 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 1 \right] = \frac{91}{36};$E\left(X\right)=\frac{1}{36}\left[1\cdot 11+2\cdot 9+3\cdot 7+4\cdot 5+5\cdot 5+6\cdot 1\right]=\frac{91}{36};$

E(Y) = \frac{1}{36}\left[ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 \right] = \frac{161}{36};$E\left(Y\right)=\frac{1}{36}\left[1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11\right]=\frac{161}{36};$

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 7;$E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)=7;$

d)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Augensumme Z$Z$ und der Summe aus X$X$ und Y$Y$?

E(Z) = \frac{1}{36}\left[ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + \cdots + 10 \cdot 3 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 1 \right] = 7 = E(X + Y);$E\left(Z\right)=\frac{1}{36}\left[2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+\cdots +10\cdot 3+11\cdot 2+12\cdot 1\right]=7=E\left(X+Y\right);$

e)

Bestimmen Sie P(X \leq 3 \cap Y \leq 4)$P\left(X\le 3\cap Y\le 4\right)$.

P(X \leq 3 \cap Y \leq 4) = \frac{1}{36}\left[ \left(1+0+0\right) + \left(2+1+0\right) + \left(2+2+1\right) + \left(2+2+2\right) \right] = \frac{5}{12};$P\left(X\le 3\cap Y\le 4\right)=\frac{1}{36}\left[\left(1+0+0\right)+\left(2+1+0\right)+\left(2+2+1\right)+\left(2+2+2\right)\right]=\frac{5}{12};$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 31

X$X$ sei eine Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ferner sei Y = X^2$Y=X^2$.

Zeigen Sie, dass E(X Y) = E(X) E(Y)$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$ ist, obwohl X$X$ und Y$Y$ abhängig sind.

P(X = 2) P(Y = 4) = \frac{1}{3} \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \neq \frac{1}{3} = P(X = 2 \cap Y = 4);$P\left(X=2\right)P\left(Y=4\right)=\frac{1}{3}\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\ne \frac{1}{3}=P\left(X=2\cap Y=4\right);$

E(X) E(Y) = \frac{1}{3} \left[\left(-2\right) + 0 + 2\right] \cdot \frac{1}{3} \left[4 + 0 + 4\right] = 0 = \frac{1}{3} \left[\left(-2\right) \cdot 4 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 4\right] = E(X Y);$E\left(X\right)E\left(Y\right)=\frac{1}{3}\left[\left(-2\right)+0+2\right]\cdot \frac{1}{3}\left[4+0+4\right]=0=\frac{1}{3}\left[\left(-2\right)\cdot 4+0\cdot 0+2\cdot 4\right]=E\left(XY\right);$

0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 32

Die Seiten zweier Laplace-Würfel sind mit den Zahlen -3$-3$, -2$-2$, -1$-1$, 1$1$, 2$2$, 3$3$ bezeichnet. Die mit den Würfeln unabhängig geworfenen Augenzahlen seien mit X$X$ bzw. Y$Y$ bezeichnet.

a)

Berechnen Sie E(X)$E\left(X\right)$ und E(Y)$E\left(Y\right)$.

E(X) = E(Y) = \frac{1}{6} \left[3 + 2 + 1 - 1 - 2 - 3\right] = 0;$E\left(X\right)=E\left(Y\right)=\frac{1}{6}\left[3+2+1-1-2-3\right]=0;$

b)

Berechnen Sie E(X^2)$E\left(X^2\right)$ und E(Y^2)$E\left(Y^2\right)$.

E(X^2) = E(Y^2) = \frac{1}{6} \left[9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9\right] = \frac{14}{3};$E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)=\frac{1}{6}\left[9+4+1+1+4+9\right]=\frac{14}{3};$

c)

Berechnen Sie E(X Y)$E\left(XY\right)$.

E(X Y) = E(X) E(Y) = 0;$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)=0;$

d)

Berechnen Sie E((X + Y)^2)$E\left({\left(X+Y\right)}^2\right)$ zunächst im direkten Ansatz über die Aufstellung der möglichen Summen und dann nach der Summenregel.

E((X + Y)^2) = E(X^2 + 2XY + Y^2) = \frac{14}{3} + 2 \cdot 0 \cdot 0 + \frac{14}{3} = \frac{28}{3};$E\left({\left(X+Y\right)}^2\right)=E\left(X^2+2XY+Y^2\right)=\frac{14}{3}+2\cdot 0\cdot 0+\frac{14}{3}=\frac{28}{3};$