«K12/K13» 95. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 95. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 199, Aufgabe 35

X$X$ sei eine Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung

•  x |   -1 |    0 |     1 |    2

•  --+------+------+-------+-----

•  P | 8/27 | 1/27 | 10/27 | 8/27

Berechnen Sie \operatorname{Var}(X)$Var\left(X\right)$ mit der Verschiebungsformel.

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{array}{rcl} {}\operatorname{Var}(X) &=& E(X^2) - E^2(X) = \\ {}&=& \left[1 \cdot \frac{8}{27} + 0 \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot \frac{10}{27} + 4 \cdot \frac{8}{27}\right] - \\ {}&-& \left[\left(-1\right) \cdot \frac{8}{27} + 0 \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot \frac{10}{27} + 2 \cdot \frac{8}{27}\right]^2 = \\ {}&=& \frac{38}{27}; \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill Var\left(X\right)& \hfill =\hfill & E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \left[1\cdot \frac{8}{27}+0\cdot \frac{1}{27}+1\cdot \frac{10}{27}+4\cdot \frac{8}{27}\right]-\hfill \\ \hfill & \hfill -\hfill & {\left[\left(-1\right)\cdot \frac{8}{27}+0\cdot \frac{1}{27}+1\cdot \frac{10}{27}+2\cdot \frac{8}{27}\right]}^2=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{38}{27};\hfill \end{array}$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 201, Aufgabe 50

Sei \Omega = \left\{ \omega_1, \omega_2, \omega_3 \right\}$\Omega =\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right\}$ mit P\!\left(\left\{ \omega_i \right\}\right) = \frac{1}{3}$P\left(\left\{{\omega }_i\right\}\right)=\frac{1}{3}$ für i = 1, 2, 3$i=1,2,3$.

Ferner seien drei Zufallsgrößen X$X$, Y$Y$, Z$Z$ auf (\Omega,P)$\left(\Omega ,P\right)$ definiert durch

X\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 1; \quad {}X\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 2; \quad {}X\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 3;$X\left(\left\{{\omega }_1\right\}\right)=1;X\left(\left\{{\omega }_2\right\}\right)=2;X\left(\left\{{\omega }_3\right\}\right)=3;$

Y\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 2; \quad {}Y\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 3; \quad {}Y\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 1;$Y\left(\left\{{\omega }_1\right\}\right)=2;Y\left(\left\{{\omega }_2\right\}\right)=3;Y\left(\left\{{\omega }_3\right\}\right)=1;$

Z\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 3; \quad {}Z\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 1; \quad {}Z\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 2;$Z\left(\left\{{\omega }_1\right\}\right)=3;Z\left(\left\{{\omega }_2\right\}\right)=1;Z\left(\left\{{\omega }_3\right\}\right)=2;$

a)

Konstruieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X + Y$X+Y$, Y + Z$Y+Z$, Z + X$Z+X$.

•  w   | w1 | w2 | w3

•  ----+----+----+---

•  x   |  1 |  2 |  3

•  y   |  2 |  3 |  1

•  z   |  3 |  1 |  2

•  ----+----+----+---

•  x+y |  3 |  5 |  4

•  y+z |  5 |  4 |  3

•  z+x |  4 |  3 |  5

•  ----+----+----+---

•  P   |     1/3

b)

Begründen Sie die Abhängigkeit von X$X$, Y$Y$, Z$Z$.

Mit Kenntnis des Werts, den eine Zufallsgröße annimmt, ist ein Elementarereignis eindeutig identifiziert. Damit kennt man auch die Werte der anderen Zufallsgrößen.

c)

Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen von X$X$, Y$Y$, Z$Z$.

E(X) = E(Y) = E(Z) = 2;$E\left(X\right)=E\left(Y\right)=E\left(Z\right)=2;$

\operatorname{Var}(X) = {}\operatorname{Var}(Y) = {}\operatorname{Var}(Z) = {}\frac{1}{3}\left[\left(1 - 2\right)^2 + \left(2-2\right)^2 + \left(3-2\right)^2\right] = \frac{2}{3};$Var\left(X\right)=Var\left(Y\right)=Var\left(Z\right)=\frac{1}{3}\left[{\left(1-2\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2\right]=\frac{2}{3};$

d)

Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der Summen in a).

E(X + Y) = E(Y + Z) = E(Z + X) = E(X) + E(Y) = 4;$E\left(X+Y\right)=E\left(Y+Z\right)=E\left(Z+X\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)=4;$

\operatorname{Var}(X + Y) = {}\operatorname{Var}(Y + Z) = {}\operatorname{Var}(Z + X) = {}\frac{1}{3}\left[\left(3-4\right)^2 + \left(5-4\right)^2 + {} \left(4-4\right)^2\right] = \frac{2}{3};$Var\left(X+Y\right)=Var\left(Y+Z\right)=Var\left(Z+X\right)=\frac{1}{3}\left[{\left(3-4\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2+{\left(4-4\right)}^2\right]=\frac{2}{3};$

e)

Berechnen Sie den Erwartungswert von X \cdot Y$X\cdot Y$.

E(X Y) = \frac{1}{3}\left[2 + 6 + 3\right] = \frac{11}{3};$E\left(XY\right)=\frac{1}{3}\left[2+6+3\right]=\frac{11}{3};$

f)

Was lässt sich über die Verteilung von X + Y + Z$X+Y+Z$ aussagen?

W_{X + Y + Z} = \left\{ 6 \right\};$W_{X+Y+Z}=\left\{6\right\};$

P(X + Y + Z = 6) = 1;$P\left(X+Y+Z=6\right)=1;$

g)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X + Y - Z$X+Y-Z$ und \frac{Z}{\left|X - Y\right|}$\frac{Z}{\left|X-Y\right|}$.

•  x+y-z | 0 | 2 | 4

•  ------+---+---+--

•  P     |    1/3

•  z/|x-y| |   1 |   3

•  --------+-----+----

•  P       | 2/3 | 1/3