0.0.1 ↑ 97. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 202, Aufgabe 53
Bei einem Fabrikationsprozess zweier Werkstücke seien für jedes Werkstück die Abweichungen -0{,}2, -0{,}1, 0{,}0, 0{,}1, 0{,}2 vom Sollwert \mu_1 bzw. \mu_2 gleich möglich. X_1 bzw. X_2 kennzeichne die jeweilige Abweichung. X_1 und X_2 seien unabhängig.
- a)
Berechnen Sie für die Summe \mu_1 + \mu_2 die sämtlichen möglichen Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten.
- b)
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X_1 + X_2 grafisch dar.
P(X_1 + X_2 = -0{,}4) = 1 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = -0{,}3) = 2 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = -0{,}2) = 3 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = -0{,}1) = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = 0{,}0) = 5 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = 0{,}1) = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = 0{,}2) = 3 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = 0{,}3) = 2 \left(\frac{1}{5}\right)^2; \\ P(X_1 + X_2 = 0{,}4) = 1 \left(\frac{1}{5}\right)^2;
- c)
Welche Abweichung vom Sollwert \mu_1 + \mu_2 hat die größte Wahrscheinlichkeit?
Die Abweichung \Delta = 0/\left|\Delta\right| = 0{,}1 hat die größte Wahrscheinlichkeit.
- d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung vom Sollwert im Intervall -0{,}1 \leq X_1 + X_2 \leq 0{,}1 gelegen ist?
P(-0{,}1 \leq X_1 + X_2 \leq 0{,}1) = 13 \left(\frac{1}{5}\right)^2;
- e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie dem Betrag nach größer sind?
P\!\left(\left|X_1 + X_2\right| > 0{,}1\right) = 1 - 13 \left(\frac{1}{5}\right)^2;
- f)
Berechnen Sie E(X_1) und E(X_2).
E(X_1) = E(X_2) = 0;
- g)
Berechnen Sie \operatorname{Var}(X_1) und \operatorname{Var}(X_2).
\operatorname{Var}(X_1) = \operatorname{Var}(X_2) = 0{,}02;
- h)
Berechnen Sie \operatorname{Var}(X_1 + X_2) mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung b) und zeigen Sie die Gültigkeit der Varianzregel.
\operatorname{Var}(X_1 + X_2) = \operatorname{Var}(X_1) + \operatorname{Var}(X_2) = 0{,}04;
0.0.1.2 ↑ Kann man direkt an den Komponenten zweier Vektoren erkennen, ob die Vektoren zueinander senkrecht stehen?
\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) \perp k \left(\!\begin{smallmatrix}-b\\a\end{smallmatrix}\!\right);
\begin{array}{rcl|l} {} \alpha &=& - k b \quad\ & \cdot\, a \\ {} \beta &=& k a \quad\ & \cdot\, b \\\hline {} a \alpha &=& -kab \quad\ & \cdot\, \left(-1\right) \\ {} b \beta &=& kab \quad\ & \\\hline {} b \beta &=& -a \alpha \quad\ & +\, a\alpha \\\hline {} a\alpha + b\beta &=& 0 \end{array}
^|+ ||\ | +| \ | /|| \|/ |<-----+---->|v
[Vektordreiecke (gebildet durch x-Achse, Vektor als Hypothenuse und entsprechend parallel verschobene y-Achse) sind zueinander ähnlich.]