«K12/K13» BERNOULLIexperimente und -ketten «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ BERNOULLIexperimente und -ketten

Ein Zufallsexperiment mit \left|\Omega\right| = 2$\left|\Omega \right|=2$ heißt "BERNOULLIexperiment".

Übliche Bezeichnungen: \Omega = \left\{ 0,1 \right\}$\Omega =\left\{0,1\right\}$, 0$0$: Niete, 1$1$: Treffer

Mit (\Omega,P)$\left(\Omega ,P\right)$: P\!\left(\left\{ 0 \right\}\right) = q$P\left(\left\{0\right\}\right)=q$, P\!\left(\left\{ 1 \right\}\right) = p$P\left(\left\{1\right\}\right)=p$

Die Hintereinanderausführung von BERNOULLIexperimenten gleicher Trefferwahrscheinlichkeit ohne gegenseitige Beeinflussung nennt man "BERNOULLIkette".

0.0.1.1 ↑ Modell der BERNOULLIkette

\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^2; \quad n \in \mathds{N};$\Omega ={\left\{0,1\right\}}^2;n\in \mathbb{\mathbb{N}};$ \quad$$ (\Omega,P)$\left(\Omega ,P\right)$

Die Ereignisse E_i = \left\{ \omega = (\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n) \in \Omega \,\middle|\, \omega_i = 1 \right\}$E_i=\left\{\omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n\right)\in \Omega \mid {\omega }_i=1\right\}$ (\left|E_i\right| = 2^{n-1}$\left|E_i\right|=2^{n-1}$), i = 1,2,\ldots,n$i=1,2,\dots ,n$ sind unabhängig und haben alle dieselbe Wahrscheinlichkeit.

n$n$ und p$p$ sind Parameter der Kette, n$n$ [nennt man] auch "Länge der Kette".

0.0.1.2 ↑ [Bestimmung der Minimalkettenlänge für Trefferwahrscheinlichkeit \beta$\beta$]

Bestimmung der Kettenlänge n$n$ dafür, dass mindestens ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit \beta$\beta$ auftritt.

P(\overline{\text{kein Treffer}}) = 1 - P(\text{kein Treffer}) = 1 - q^n \geq \beta;$P\left(\overline{\text{kein Treffer}}\right)=1-P\left(\text{kein Treffer}\right)=1-q^n\ge \beta ;$ ⇔

1 - \beta \geq q^n;$1-\beta \ge q^n;$ ⇔ [beide Seiten kleiner 1$1$]

\log_q\left[1 - \beta\right] = \frac{\ln\left[1 - \beta\right]}{\ln\left[1 - p\right]} \leq n;${log}_q\left[1-\beta \right]=\frac{ln\left[1-\beta \right]}{ln\left[1-p\right]}\le n;$

[n$n$ natürlich aufrunden, falls nicht ganze Zahl]

[Mit X$X$ Anzahl der Treffer:]

P(X = k) = B(n,p,k) = \binom{n}{k} p^k \left(1 - p\right)^{n - k};$P\left(X=k\right)=B\left(n,p,k\right)=\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k};$

\sum\limits_{i = 0}^k B(n,p,i) = P(X \leq k);$\sum _{i=0}^{k}B\left(n,p,i\right)=P\left(X\le k\right);$

0.0.1.3 ↑ Formel von Bernoulli

[Mit einer] BERNOULLIkette mit den Parametern n$n$ und p$p$ [und] X$X$: Anzahl der Treffer

Das Wahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeitsverteilung) {P^n_p}{:}\, \mathcal{P}\!\left(\left\{ 0,1 \right\}^n\right) \to \left[0,1\right]$P_p^n:\mathcal{P}\left({\left\{0,1\right\}}^n\right)\to \left[0,1\right]$ mit {P^n_p}(X = k) = B(n,p;k)$P_p^n\left(X=k\right)=B\left(n,p;k\right)$ heißt "Binomialverteilung B(n,p)$B\left(n,p\right)$".

Die Zufallsgröße X$X$ [ist] binomialverteilt.

(Kumulative) Verteilungsfunktion:

F(n,p;k) = {P^n_p}(X \leq x) = \sum\limits_{k \leq x} B(n,p;k);$F\left(n,p;k\right)=P_p^n\left(X\le x\right)=\sum _{k\le x}B\left(n,p;k\right);$

0.0.1.4 ↑ Erwartungswert und Varianz

BERNOULLIkette mit den Parametern n$n$ und p$p$ [und] X$X$: Anzahl der Treffer

X_i$X_i$: Anzahl der Treffer beim i$i$-ten BERNOULLIexperiment

E(X_i) = p \cdot 1 + q \cdot 0 = p;$E\left(X_i\right)=p\cdot 1+q\cdot 0=p;$

E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = n p;$E\left(X\right)=E\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+\cdots +E\left(X_n\right)=np;$

\operatorname{Var}(X) = {}\operatorname{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = {}n \operatorname{Var}(X_i) = {}n \left[\left(1 - p\right)^2 p + \left(0 - p\right)^2 q\right] = {}n p q;$Var\left(X\right)=Var\left(X_1+X_2+\cdots +X_n\right)=nVar\left(X_i\right)=n\left[{\left(1-p\right)}^{2}p+{\left(0-p\right)}^{2}q\right]=npq;$