«K12/K13» Das Axiomensystem von Kolmogorow «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Das Axiomensystem von Kolmogorow

Das Axiomensystem von Kolmogorow legt Bedingungen für Wahrscheinlichkeiten fest, sagt aber nichts darüber, wie man zu Wahrscheinlichkeiten kommt.

Vergleich: Inhalt I(A)$I\left(A\right)$ einer Fläche A$A$

• I(A) \geq 0;$I\left(A\right)\ge 0;$

• I(A_1 \cup A_2) = I(A_1) + I(A_2)$I\left(A_1\cup A_2\right)=I\left(A_1\right)+I\left(A_2\right)$ falls A_1 \cap A_2 = \varnothing;$A_1\cap A_2=\varnothing ;$

• I(\text{Quadrat der Seitenlänge }1) = 1;$I\left(\text{Quadrat der Seitenlnge }1\right)=1;$

Hier: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P{:}\, \mathcal{P}(\Omega) \to \mathds{R}$P:\mathcal{P}\left(\Omega \right)\to \mathbb{ℝ}$ mit A \mapsto P(A) \in \mathds{R}$A\mapsto P\left(A\right)\in \mathbb{ℝ}$ mit folgenden Eigenschaften:

• P(A) \geq 0;$P\left(A\right)\ge 0;$ (Nichtnegativität)

• P(\Omega) = 1;$P\left(\Omega \right)=1;$ (Normierung)

• P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$P\left(A_1\cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)$ falls A_1 \cap A_2 = \varnothing;$A_1\cap A_2=\varnothing ;$ (Additivität)

Das Paar (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$ heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Folgerungen: Kap. 6.2.3 und 6.2.4