«K12/K13» Zufallsgrößen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Zufallsgrößen

Eine Abbildung X{:}\, \Omega \to \mathds{R}$X:\Omega \to \mathbb{ℝ}$ heißt Zufallsgröße (-variable).

"Wenn ich eine Wand sehe, muss ich nicht erst durch sie hindurch gehen, um zu sehen, dass es wirklich eine Wand ist."

0.0.1.1 ↑ Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Geg.: (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$, X$X$ auf \Omega$\Omega$, P_X$P_X$ auf (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$

\tilde{P}_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0, 1\right]; \quad x \mapsto \begin{cases} {} P_X(x) & \text{falls } x \in W_X; \\ {} 0 & \text{sonst}; \end{cases}${\tilde{P}}_X:\mathbb{ℝ}\to \left[0,1\right];x\mapsto \left\{\begin{array}{cc}{P}_X\left(x\right)\hfill & \text{falls }x\in W_X;\hfill \\ 0\hfill & \text{sonst};\hfill \end{array}\right.$

0.0.1.2 ↑ Die (kumulative) Verteilungsfunktion

Sei P_X$P_X$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$ und dem Wertebereich von X$X$ W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}$W_X=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n\right\}$.

Die Funktion F_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X \leq x) = P\!\left(\left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\, X(\omega) \leq x \right\}\right);$F_X:\mathbb{ℝ}\to \left[0,1\right];x\mapsto P\left(X\le x\right)=P\left(\left\{\omega \in \Omega \mid X\left(\omega \right)\le x\right\}\right);$ heißt (kumulative) Verteilungsfunktion von X$X$ auf (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$.

Folgerungen:

F_X(x) = \sum\limits_{x_i \leq x} \underbrace{P(X = x_i)}_{P_X(x_i)}$F_X\left(x\right)=\sum _{x_i\le x}\underset{P_X\left(x_i\right)}{\underbrace{P\left(X=x_i\right)}}$, da \bigcup\limits_{i = 1,2,\ldots,n} \left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\, X(\omega) = x_i \right\} = \Omega;$\bigcup _{i=1,2,\dots ,n}\left\{\omega \in \Omega \mid X\left(\omega \right)=x_i\right\}=\Omega ;$

0.0.1.3 ↑ Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und Un­ab­hän­gig­keit zweier Zufallsgrößen

P(X = x \cap Y = y) = P_{X,Y}(x,y);$P\left(X=x\cap Y=y\right)=P_{X,Y}\left(x,y\right);$

(\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$ sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und X$X$ und Y$Y$ seien Zufallsgrößen auf \Omega$\Omega$ mit den Wertemengen W_X$W_X$ und W_Y$W_Y$.

a)

Die Funktion P_{X,Y}{:}\, W_X \times W_Y \to \left[0, 1\right]; (x,y) \mapsto P(X = x \cap Y = y) = P\!\left(\left\{ \omega \in \Omega \,\middle|\, X(\omega) = x \wedge Y(\omega) = y \right\}\right)$P_{X,Y}:W_X\times W_Y\to \left[0,1\right];\left(x,y\right)\mapsto P\left(X=x\cap Y=y\right)=P\left(\left\{\omega \in \Omega \mid X\left(\omega \right)=x\wedge Y\left(\omega \right)=y\right\}\right)$ heißt gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X$X$ und Y$Y$.

b)

[Gilt für alle x \in W_X$x\in W_X$ und für alle y \in W_Y$y\in W_Y$, dass die Ereignisse X = x$X=x$ und Y = y$Y=y$ sind unabhängig sind, so sind X$X$ und Y$Y$ unabhängig.]

Die Ereignisse X = x$X=x$ und Y = y$Y=y$ sind unabhängig für alle x \in W_X$x\in W_X$ und y \in W_Y$y\in W_Y$. ⇔

P(X = x \cap Y = y) = P(X = x) P(Y = y)$P\left(X=x\cap Y=y\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$ für alle x \in W_X$x\in W_X$ und y \in W_Y$y\in W_Y$. ⇔

P_{X,Y}(x,y) = P_X(x) P_Y(y)$P_{X,Y}\left(x,y\right)=P_X\left(x\right)P_Y\left(y\right)$ für alle x \in W_X$x\in W_X$, y \in W_Y$y\in W_Y$. \stackrel{\text{D}}{\Leftrightarrow}$\stackrel{\text{D}}{\iff }$

X$X$ und Y$Y$ sind unabhängig.

0.0.1.4 ↑ Erwartungswert E(X)$E\left(X\right)$ einer Zufallsgröße X$X$ über (\Omega,P)$\left(\Omega ,P\right)$ mit der Wertemenge W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}$W_X=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n\right\}$

E(X) := x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \cdots + x_n P(X = x_n) = \sum\limits_{i = 1}^n x_i P(X = x_i);$E\left(X\right):=x_{1}P\left(X=x_1\right)+x_{2}P\left(X=x_2\right)+\cdots +x_{n}P\left(X=x_n\right)=\sum _{i=1}^n{x}_{i}P\left(X=x_i\right);$

"Im Grund sitzt keiner gescheit, aber alle halbwegs gut"

E(X) = x_1 \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_1\right)} P\!\left(\left\{ \omega_i \right\}\right) + x_2 \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_2\right)} P\!\left(\left\{ \omega_i \right\}\right) + \cdots + x_n \sum\limits_{\omega_i \in \left(X = x_n\right)} P\!\left(\left\{ \omega_i \right\}\right)\! = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right)\!;$E\left(X\right)=x_1\sum _{{\omega }_i\in \left(X=x_1\right)}P\left(\left\{{\omega }_i\right\}\right)+x_2\sum _{{\omega }_i\in \left(X=x_2\right)}P\left(\left\{{\omega }_i\right\}\right)+\cdots +x_n\sum _{{\omega }_i\in \left(X=x_n\right)}P\left(\left\{{\omega }_i\right\}\right)=\sum _{\omega \in \Omega }X\left(\omega \right)P\left(\left\{\omega \right\}\right);$

"weißt, einmal gehst 'rein [ins Haus] und einmal 'raus; was war jetzt richtig?"

0.0.1.4.1 ↑ Rechnen mit Erwartungswerten

• X$X$ sei eine Zufallsgröße auf (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$ mit der Wertemenge W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}$W_X=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n\right\}$.

  Y := a X + b; \quad a,b \in \mathds{R};$Y:=aX+b;a,b\in \mathbb{ℝ};$

  Y{:}\, \Omega \to W_Y = \left\{ ax + b \,\middle|\, x \in W_X \right\}; \quad \omega \mapsto a X(\omega) + b;$Y:\Omega \to W_Y=\left\{ax+b\mid x\in W_X\right\};\omega \mapsto aX\left(\omega \right)+b;$

  E(Y) = E(aX + b) = \sum\limits_{x \in W_X} \left(ax + b\right) P(X = x) = \sum\limits_{x \in W_X}\left[ ax P(X = x) + b P(X = x) \right] = a \sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) + b \sum\limits_{x \in W_X} P(X = x) = a E(X) + b;$E\left(Y\right)=E\left(aX+b\right)=\sum _{x\in W_X}\left(ax+b\right)P\left(X=x\right)=\sum _{x\in W_X}\left[axP\left(X=x\right)+bP\left(X=x\right)\right]=a\sum _{x\in W_X}xP\left(X=x\right)+b\sum _{x\in W_X}P\left(X=x\right)=aE\left(X\right)+b;$

• X$X$ und Y$Y$ seien Zufallsgrößen über (\Omega, P)$\left(\Omega ,P\right)$ mit den Wertemengen W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}$W_X=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n\right\}$ und W_Y = \left\{ y_1, y_2, \ldots, y_k \right\}$W_Y=\left\{y_1,y_2,\dots ,y_k\right\}$.

  E(X + Y) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}\left[ X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right) + Y(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right) \right] = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right) + \sum\limits_{\omega \in \Omega} Y(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right) = E(X) + E(Y);$E\left(X+Y\right)=\sum _{\omega \in \Omega }\left[X\left(\omega \right)P\left(\left\{\omega \right\}\right)+Y\left(\omega \right)P\left(\left\{\omega \right\}\right)\right]=\sum _{\omega \in \Omega }X\left(\omega \right)P\left(\left\{\omega \right\}\right)+\sum _{\omega \in \Omega }Y\left(\omega \right)P\left(\left\{\omega \right\}\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right);$

• Seien X$X$ und Y$Y$ unabhängige Zufallsgrößen über (\Omega,P)$\left(\Omega ,P\right)$ mit den Wertemengen W_X = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}$W_X=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n\right\}$ und W_Y = \left\{ y_1, y_2, \ldots, y_n \right\}$W_Y=\left\{y_1,y_2,\dots ,y_n\right\}$.

  Z{:}\, \Omega \to W_Z$Z:\Omega \to W_Z$ (Wertemenge) \quad \omega \mapsto X(\omega) Y(\omega);$\omega \mapsto X\left(\omega \right)Y\left(\omega \right);$

  \renewcommand{\arraystretch}{2.4}\begin{array}{rcl} {} E(X Y) &=& {} \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \in W_Z}} {} x y P(X = x \cap Y = y) = \\ {} &=& {} \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \in W_Z}} {} x y P(X = x \cap Y = y) + {} \underbrace{ {} \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y\\x y \not\in W_Z}} {} x y \underbrace{P(\underbrace{X = x \cap Y = y}_{\varnothing})}_0 {} }_0 = \\ {} &=& {} \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y}} {} x y P(X = x \cap Y = y) = {} \sum\limits_{\substack{x \in W_X\\y \in W_Y}} {} x P(X = x) \, y P(Y = y) = \\ {} &=& {} \sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) \cdot {} \sum\limits_{y \in W_Y} y P(Y = y) = \\ {} &=& E(X) E(Y); \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill E\left(XY\right)& \hfill =\hfill & \sum _{\begin{array}{c}x\in W_X\\ y\in W_Y\\ xy\in W_Z\end{array}}xyP\left(X=x\cap Y=y\right)=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sum _{\begin{array}{c}x\in W_X\\ y\in W_Y\\ xy\in W_Z\end{array}}xyP\left(X=x\cap Y=y\right)+\underset{0}{\underbrace{\sum _{\begin{array}{c}x\in W_X\\ y\in W_Y\\ xy\notin W_Z\end{array}}xy\underset{0}{\underbrace{P\left(\underset{\varnothing }{\underbrace{X=x\cap Y=y}}\right)}}}}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sum _{\begin{array}{c}x\in W_X\\ y\in W_Y\end{array}}xyP\left(X=x\cap Y=y\right)=\sum _{\begin{array}{c}x\in W_X\\ y\in W_Y\end{array}}xP\left(X=x\right)yP\left(Y=y\right)=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sum _{x\in W_X}xP\left(X=x\right)\cdot \sum _{y\in W_Y}yP\left(Y=y\right)=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & E\left(X\right)E\left(Y\right);\hfill \end{array}$