«K12/K13» 3. Klausur

Bei der Einschulung wurden alle Schüler eines Jahrgangs einem Eignungstest unterzogen. Am Ende der Schulzeit bestehen 35 \,\% $35 %$ dieser Schüler die Abschlussprüfung nicht. Davon hatten 85 \,\% $85 %$ im Eignungstest ein schlechtes Ergebnis. Von den Schülern mit bestandener Abschlussprüfung hatten 2 \,\% $2 %$ im Eignungstest schlecht abgeschnitten. (6 P)

a)

Stelle diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und gib dabei für jeden Ast die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. (2 P)

A $A$ : Abschlussprüfung bestanden \\ E $E$ : Eignungstest gut

+---+---+
0,65 / \ 0,35
/ \
/ _
A A
0,98 / \ 0,02 0,15 / \ 0,85
/ \_ / \_
E E E E

b)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schüler mit schlechtem Ergebnis im Eignungstest die Abschlussprüfung nicht besteht. (4 P)

P_{\overline{E}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{E})}{P(\overline{E})} = \frac{P(\overline{A} \cap E)}{P(A) P_A(E) + P(\overline{A}) P_{\overline{A}}(E)} \approx 95{,}8 \,\%; $P_{\bar{E}} (\bar{A}) = \frac{P (\bar{A} \cap \bar{E})}{P (\bar{E})} = \frac{P (\bar{A} \cap E)}{P (A) P_{A} (E) + P (\bar{A}) P_{\bar{A}} (E)} \approx 95, 8 %;$

Aus der Menge der ersten dreißig natürlichen Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Untersuche, ob die Geradzahligkeit der Zahl selbst stoachstisch unabhängig ist von der Geradzahligkeit ihrer Quersumme. (4 P)

* * * *
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* * * *

*
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* * * * * *

* * * *
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
* * * *

\left| G \right| = 15; \quad \left| QG \right| = 14; \quad \left| G \cap QG \right| = 9; $|G| = 15; |Q G| = 14; |G \cap Q G| = 9;$

P(G) P(QG) = \frac{15}{30} \frac{14}{30} = \frac{7}{30} \neq \frac{9}{30} = P(G \cap QG); $P (G) P (Q G) = \frac{15}{30} \frac{14}{30} = \frac{7}{30} \neq \frac{9}{30} = P (G \cap Q G);$

⇒ Grund für QG $Q G$ abhängig.

Gegeben sind die Ebene E{:}\, x_1 + x_2 + x_3 - 1 = 0 $E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1 = 0$ und die Geradenschar g_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-3\\a^2\end{smallmatrix}\!\right) + k \vec{v_a} $g_{a} : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ a^{2} \end{matrix}) + k \vec{v_{a}}$ mit \vec{v_a} = \left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right) $\vec{v_{a}} = (\begin{matrix} 1 - a \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ , a, k \in \mathds{R} $a, k \in ℝ$ . (6 P)

a)

S_a $S_{a}$ ist die Spitze des Repräsentanten von \vec{v_a} $\vec{v_{a}}$ , der den Ursprung als Fußpunkt hat. Beschreibe in Worten die geometrische Bedeutung der Menge M = \left\{ S_a \middle| a \in \mathds{R} \right\} $M = \{S_{a} ∣ a \in ℝ\}$ möglichst genau. (2 P)

\vec{v_a} = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right) + a \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in \mathds{R}; $\vec{v_{a}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + a (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); a \in ℝ;$

M $M$ ist eine Gerade parallel zur x_1 $x_{1}$ -Achse durch den Punkt (1,2,3) $(1, 2, 3)$ .

b)

Bestimme alle Werte für a $a$ , für die gilt: (4 P)

g_a \cap E{:}\, 2 + k \left(1 - a\right) - 3 + 2k + a^2 + 3k - 1 = 0; $g_{a} \cap E : 2 + k (1 - a) - 3 + 2 k + a^{2} + 3 k - 1 = 0;$

k \left(6 - a\right) = 2 - a^2; $k (6 - a) = 2 - a^{2};$

Fall: 6 - a \neq 0; $6 - a \neq 0;$

k = \frac{2 - a^2}{6 - a} $k = \frac{2 - a^{2}}{6 - a}$ , d.h. k $k$ ist eindeutig bestimmt.
Fall: 6 - a = 0; $6 - a = 0;$

6 = a; $6 = a;$

k \cdot 0 \neq 2 - 36; $k \cdot 0 \neq 2 - 36;$

Es gibt keine Lösung für k $k$ .

\alpha $α$ )

\left|g_a \cap E\right| = 1; $|g_{a} \cap E| = 1;$

a \neq 6; $a \neq 6;$

\beta $β$ )

g_a \cap E = \left\{\right\}; $g_{a} \cap E = \{\};$

a = 6; $a = 6;$

\gamma $γ$ )

g_a \cap E = g_a; $g_{a} \cap E = g_{a};$

Nicht möglich, d.h. es gibt keinen Fall für a $a$ .

Gegeben sind der Punkt A(4, 2, 6) $A (4, 2, 6)$ , die Geraden

g_1{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-1\\-4\end{smallmatrix}\!\right) + k \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad k \in \mathds{R}; $g_{1} : \vec{X} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) + k (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}); k \in ℝ;$

g_2{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\5\\10\end{smallmatrix}\!\right) + l \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad l \in \mathds{R}; $g_{2} : \vec{X} = (\begin{matrix} 10 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}) + l (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}); l \in ℝ;$

g_3{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right) + m \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad m \in \mathds{R}; $g_{3} : \vec{X} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + m (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}); m \in ℝ;$ und die Ebene

F{:}\, \vec X = u \left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right) + v \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad u, v \in \mathds{R}; $F : \vec{X} = u (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); u, v \in ℝ;$ (24 P)

a)

Zeige, dass sich g_1 $g_{1}$ und g_2 $g_{2}$ schneiden und berechne ihren Schnittpunkt. Untersuche g_1 $g_{1}$ und g_3 $g_{3}$ auf ihre gegenseitige Lage hin. (6 P)

g_1 $g_{1}$ –g_3 $g_{3}$ : Gleichungssystem nicht lösbar

b)

Gib eine vektorielle Parameterdarstellung der Ebene E $E$ an, die parallel zur x_3 $x_{3}$ -Achse ist und deren Schnittgerade mit der x_1 $x_{1}$ –x_2 $x_{2}$ -Ebene durch x_1 - 2 x_2 - 6 = 0 $x_{1} - 2 x_{2} - 6 = 0$ beschrieben ist. (3 P)

g_1 \cap g_2 $g_{1} \cap g_{2}$ : S(0,0,0) $S (0, 0, 0)$

x_1 - 2x_2 - 6 = 0; $x_{1} - 2 x_{2} - 6 = 0;$

A(6,0,0); \quad B(0,-3,0); $A (6, 0, 0); B (0, - 3, 0);$

s{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \varrho \left(\!\begin{smallmatrix}6\\3\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \varrho \in \mathds{R}; $s : \vec{X} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + ϱ (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}); ϱ \in ℝ;$

E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \varrho \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \varrho, \sigma \in \mathds{R}; $E : \vec{X} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + ϱ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + σ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); ϱ, σ \in ℝ;$

c)

Zeige, dass F $F$ echt parallel zu E $E$ ist und g_1 $g_{1}$ und g_2 $g_{2}$ in der Ebene F $F$ liegen. (9 P)

F \cap x_1\text{--}x_2\text{-Ebene}{:}\, \vec X = w \left(\!\begin{smallmatrix}-4 + 2\\-2 + 1\\0\end{smallmatrix}\!\right) = w \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad w \in \mathds{R}; $F \cap x_{1} – x_{2} -Ebene : \vec{X} = w (\begin{matrix} - 4 + 2 \\ - 2 + 1 \\ 0 \end{matrix}) = w (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}); w \in ℝ;$

(0,0,0) \in F; $(0, 0, 0) \in F;$

g_1 $g_{1}$ –F $F$ [ergibt Lösbarkeit, Abhängigkeit von einem Parameter]

d)

Untersuche, ob es eine Gerade h $h$ gibt, die parallel zu E $E$ ist und die Geraden g_1 $g_{1}$ , g_2 $g_{2}$ und g_3 $g_{3}$ schneidet. Gib gegebenfalls eine Gleichung für h $h$ an. (6 P)

E \parallel F; $E ∥ F;$

g_1, g_2 \in F; $g_{1}, g_{2} \in F;$

g_1 \cap g_2 = \left\{ (0,0,0) \right\}; $g_{1} \cap g_{2} = \{(0, 0, 0)\};$

h $h$ existiert genau dann, wenn g_3 \cap F \neq \varnothing; $g_{3} \cap F \neq \emptyset;$

g_3 \cap F = \left\{ T \right\} = \left\{ (4,2,6) \right\}; $g_{3} \cap F = \{T\} = \{(4, 2, 6)\};$

h = 0T; $h = 0 T;$

h{:}\, \vec X = \mu' \left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\6\end{smallmatrix}\!\right) = \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; $h : \vec{X} = μ^{'} (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) = μ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix});$

«K12/K13» 3. Klausur «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 3. Klausur am 5.4.2006