«K12/K13» Stetigkeit und Differenzierbarkeit «PDF», «POD»

1 ↑ Mathematik

1.1 ↑ Analysis

1.1.1 ↑ Stetigkeit und Differenzierbarkeit

1.1.1.1 ↑ Stetigkeit

\mathrm{f}$\text{f}$ stetig in x_0;$x_0;$ ⇔ \lim\limits_{x \to x_0} \mathrm{f}(x) = \mathrm{f}(x_0);$\underset{x\to x_0}{lim}\text{f}\left(x\right)=\text{f}\left(x_0\right);$¹

1.1.1.2 ↑ Differenzierbarkeit

\mathrm{f}$\text{f}$ ist diffbar an der Stelle x_0;$x_0;$ ⇔ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}(x) - \mathrm{f}(x_0)}{x - x_0}$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(x_0\right)}{x-x_0}$ existiert;

Dieser Grenzwert heißt Ableitung von \mathrm{f}$\text{f}$ an der Stelle x_0$x_0$ und wird mit \mathrm{f}'(x_0)${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)$ bezeichnet.

(Ist x_0$x_0$ Randpunkt von D_{\mathrm{f}}$D_{\text{f}}$, so sind die Grenzwerte einseitige.)

1.1.1.3 ↑ Satz des Hausmeisters

\mathrm{f}$\text{f}$ ist diffbar auf \left]a, b\right[$\left]a,b\right[$, stetig auf \left]a, b\right]$\left]a,b\right]$ und \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{f}'(x)$\underset{x\to b-}{lim}{\text{f}}^{\prime }\left(x\right)$ existiert.

⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist an der Stelle b$b$ von links diffbar, und es gilt:

\mathrm{f}'_{\text{l}}(b) = \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{f}'(x);${\text{f}}_{\text{l}}^{\prime }\left(b\right)=\underset{x\to b-}{lim}{\text{f}}^{\prime }\left(x\right);$

Bemerkungen:

• Eine entsprechende Aussage gilt für die rechtsseitige Diffbarkeit.

• \mathrm{f}$\text{f}$ ist an der Stelle x_0$x_0$ diffbar genau dann, wenn gilt:

  \mathrm{f}'_{\text{l}}(x_0) = \mathrm{f}'_{\text{r}}(x_0);${\text{f}}_{\text{l}}^{\prime }\left(x_0\right)={\text{f}}_{\text{r}}^{\prime }\left(x_0\right);$

1.1.1.4 ↑ Beispiel

Betrachtet werden die Funktionen \mathrm{f}$\text{f}$ und \mathrm{g}$\text{g}$ mit

D_{\mathrm{f}} = \left]a, b\right]; \quad$D_{\text{f}}=\left]a,b\right];$ D_{\mathrm{g}} = \left]b, c\right[;$D_{\text{g}}=\left]b,c\right[;$

und die Funktion \mathrm{h}$\text{h}$ mit

\mathrm{h}(x) = \begin{cases} {} \mathrm{f}(x) & \text{f"ur } x \in \left]a, b\right]; \\ {} \mathrm{g}(x) & \text{f"ur } x \in \left]b, c\right[; \end{cases}$\text{h}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\text{f}\left(x\right)\hfill & \text{f”ur }x\in \left]a,b\right];\hfill \\ \text{g}\left(x\right)\hfill & \text{f”ur }x\in \left]b,c\right[;\hfill \end{array}\right.$

d.h. D_{\mathrm{h}} = \left]a, c\right[;$D_{\text{h}}=\left]a,c\right[;$

\mathrm{f}$\text{f}$ und \mathrm{g}$\text{g}$ besitzen die Stammfunktionen \mathrm{F}$\text{F}$ und \mathrm{G}$\text{G}$.

Beschreibe eine Vorgehensweise, um herauszufinden, ob \mathrm{h}$\text{h}$ eine Stammfunktion besitzt und gib gegebenfalls eine an.

Vorläufiges \mathrm{H}$\text{H}$:

\mathrm{H}(x) = \begin{cases} {} \mathrm{F}(x) & \text{f"ur } x < b; \\ {} \mathrm{G}(x) & \text{f"ur } x > b; \end{cases}$\text{H}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\text{F}\left(x\right)\hfill & \text{f”ur }x<b;\hfill \\ \text{G}\left(x\right)\hfill & \text{f”ur }x>b;\hfill \end{array}\right.$

\lim\limits_{x \to b} \mathrm{H}(x) = \mathrm{H}(b);$\underset{x\to b}{lim}\text{H}\left(x\right)=\text{H}\left(b\right);$

\lim\limits_{x \to b-} \mathrm{H}(x) = \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{F}(x);$\underset{x\to b-}{lim}\text{H}\left(x\right)=\underset{x\to b-}{lim}\text{F}\left(x\right);$

\lim\limits_{x \to b+} \mathrm{H}(x) = \lim\limits_{x \to b+} \mathrm{G}(x);$\underset{x\to b+}{lim}\text{H}\left(x\right)=\underset{x\to b+}{lim}\text{G}\left(x\right);$

1. Fall: Einer der Grenzwerte existiert nicht.

2. Fall: Beide Grenzwerte existieren und stimmen überein.

   Diesen Grenzwerte nehmen wir als \mathrm{H}(b)$\text{H}\left(b\right)$.

3. Fall: Beide Grenzwerte existieren – etwa \varphi$\varphi$ und \gamma$\gamma$ –, aber stimmen nicht überein.

   Wir verwerfen das alte \mathrm{H}(x)$\text{H}\left(x\right)$ und nehmen

   \mathrm{H}(x) = \begin{cases} {} \mathrm{F}(x) & \text{f"ur } x < b; \\ {} \varphi & \text{f"ur } x = b; \\ {} \underbrace{\mathrm{G}(x) + \varphi - \gamma}_{\text{Neues } \mathrm{G}(x)} & \text{f"ur } x > b; \\ \end{cases}$\text{H}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\text{F}\left(x\right)\hfill & \text{f”ur }x<b;\hfill \\ \varphi \hfill & \text{f”ur }x=b;\hfill \\ \underset{\text{Neues }\text{G}\left(x\right)}{\underbrace{\text{G}\left(x\right)+\varphi -\gamma }}\hfill & \text{f”ur }x>b;\hfill \\ \hfill \end{array}\right.$

Überprüfung auf Differenzierbarkeit an der Stelle b$b$:

1. Methode: Grenzwert des Differenzenquotienten

   \lim\limits_{x \to b-} \frac{\mathrm{H}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b} = \lim\limits_{x \to b-} \frac{\mathrm{F}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b};$\underset{x\to b-}{lim}\frac{\text{H}\left(x\right)-\text{H}\left(b\right)}{x-b}=\underset{x\to b-}{lim}\frac{\text{F}\left(x\right)-\text{H}\left(b\right)}{x-b};$

   \lim\limits_{x \to b+} \frac{\mathrm{H}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b} = \lim\limits_{x \to b+} \frac{\mathrm{G}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b};$\underset{x\to b+}{lim}\frac{\text{H}\left(x\right)-\text{H}\left(b\right)}{x-b}=\underset{x\to b+}{lim}\frac{\text{G}\left(x\right)-\text{H}\left(b\right)}{x-b};$

   Stimmen diese Grenzwerte überein, ist \mathrm{H}$\text{H}$ Stammfunktion von \mathrm{h}$\text{h}$, andernfalls nicht.

2. Methode: Satz des Hausmeisters

   Nach Konstruktion ist \mathrm{H}$\text{H}$ stetig an der Stelle b$b$.

   \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{F}'(x) = \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{f}(x);$\underset{x\to b-}{lim}{\text{F}}^{\prime }\left(x\right)=\underset{x\to b-}{lim}\text{f}\left(x\right);$

   \lim\limits_{x \to b+} \mathrm{G}'(x) = \lim\limits_{x \to b+} \mathrm{g}(x);$\underset{x\to b+}{lim}{\text{G}}^{\prime }\left(x\right)=\underset{x\to b+}{lim}\text{g}\left(x\right);$

   Wenn die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind, ist \mathrm{H}(x)$\text{H}\left(x\right)$ diffbar. Wenn ferner \mathrm{H}'(b) = \mathrm{f}(b)${\text{H}}^{\prime }\left(b\right)=\text{f}\left(b\right)$ gilt, ist \mathrm{H}$\text{H}$ eine Stammfunktion von \mathrm{h}$\text{h}$.