«K12/K13» Stichpunkte einer älteren Version «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Stichpunkte

0.0.1.1 ↑ Ziel der Facharbeit

• Systematischer Aufbau der verschiedenen konventionellen Zahlbereiche (\mathds{N}$\mathbb{\mathbb{N}}$, \mathds{Z}$\mathbb{\mathbb{Z}}$, \mathds{Q}$\mathbb{\mathbb{Q}}$)

• Ideen hinter dem Aufbau

• Alternativer Ansatz durch die surrealen Zahlen

0.0.1.2 ↑ Zahlbegriff

• Abstraktion

• Gemeinsamkeiten zwischen Mengen:

  Drei Autos, drei Äpfel, etc. → 3$3$

• Zählen

0.0.1.3 ↑ Natürliche Zahlen

• Mehrere äquivalente (→ isomorphe) Möglichkeiten, damit freie Wahl der Realisierung (zwecks Praktikabilität (Computer), einfacheren Denkens etc.)

• Beim Aufbau der natürlichen Zahlen können wir nur wenig voraussetzen. Beispielsweise wäre "\mathds{N} = \left\{ n \in \mathds{Z} \middle| n > 0 \right\}$\mathbb{\mathbb{N}}=\left\{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}\mid n>0\right\}$" unpraktisch, weil wir in dieser Definition bereits \mathds{Z}$\mathbb{\mathbb{Z}}$ verwenden.

[Problematik \mathds{N} \in \mathds{Z}$\mathbb{\mathbb{N}}\in \mathbb{\mathbb{Z}}$]

0.0.1.3.1 ↑ Natürliche Zahlen nach Peano

[Eigentl. Peano-Dedekindsche Axiome, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahlen]

• Es gibt eine kleinste natürliche Zahl. Diese bezeichnen wir beispielsweise mit 0$0$.

• Es gibt eine Nachfolgerfunktion S$S$ (engl. Successor), die einer natürlichen Zahl ihren (eindeutigen) Nachfolger ("+ 1$+1$") zuordnet. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.

  S$S$ würde man als streng monoton steigend bezeichnen. Problematisch bei dieser Kategorisierung ist, dass – wenn man die Zahlen selbst erst definiert – das mächtige Werkzeug der Kurvendiskussion etc. noch nicht zur Verfügung hat.

  Man kann aber die Bedingung umformulieren: Haben zwei Zahlen den gleichen Nachfolger, so sind die zwei Zahlen gleich. In Formeln: S(m) = S(n)$S\left(m\right)=S\left(n\right)$ ⇔ m = n$m=n$

• Die Menge der natürlichen Zahlen ist dann:

  \mathds{N} = \left\{ 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), \ldots \right\}$\mathbb{\mathbb{N}}=\left\{0,S\left(0\right),S\left(S\left(0\right)\right),S\left(S\left(S\left(0\right)\right)\right),\dots \right\}$

• Der Einfachheit halber definiert man Namen für die Zahlen, die durch wiederholte Anwendung der Nachfolgerfunktion entstehen: 1 := S(0)$1:=S\left(0\right)$, 2 := S(1)$2:=S\left(1\right)$, etc.

• Bisher haben wir jetzt also die Menge der natürlichen Zahlen \mathds{N}$\mathbb{\mathbb{N}}$ und S$S$, wir können also Zählen.

0.0.1.3.1.1 ↑ Addition

Jetzt können wir Addition definieren. Da wir als einzige Operation bisher nur das Zählen kennen, müssen wir Addition irgendwie aufs Zählen zurückführen.

• Addiert man zu einer beliebigen natürlichen Zahl 0$0$, so ist das Ergebnis die gleiche natürliche Zahl: n + 0 := n$n+0:=n$

• Addiert man zu einer natürlichen Zahl n$n$ den Nachfolger einer natürlichen Zahl m$m$, so ist das Ergebnis der Nachfolger der Summe von n$n$ und m$m$: m + S(n) := S(m + n)$m+S\left(n\right):=S\left(m+n\right)$

Diese Definition ist rekursiv, d.h. sie führt auf sich selbst zurück. Beispiel:

2 + 3 = 2 + S(2) = S(2 + 2) = S(2 + S(1)) = S(S(2 + 1)) = S(S(2 + S(0))) = S(S(S(2 + 0))) = S(S(S(2))) = 5$2+3=2+S\left(2\right)=S\left(2+2\right)=S\left(2+S\left(1\right)\right)=S\left(S\left(2+1\right)\right)=S\left(S\left(2+S\left(0\right)\right)\right)=S\left(S\left(S\left(2+0\right)\right)\right)=S\left(S\left(S\left(2\right)\right)\right)=5$

Abschnittsweise definiert:

m + n := \begin{cases} {} m & \text{falls } n = 0 \\ {} S(m + n_{-1}) & \text{sonst, mit } n = S(n_{-1}) \end{cases}$m+n:=\left\{\begin{array}{cc}m\hfill & \text{falls }n=0\hfill \\ S\left(m+n_{-1}\right)\hfill & \text{sonst, mit }n=S\left(n_{-1}\right)\hfill \end{array}\right.$

Der Term, der nicht auf die Addition zurückgreift – der für n = 0$n=0$ –, nennt man auch Rekursionsanfang (oder engl. base case), den anderen Ast Rekursionsschritt.

Die Idee hinter dieser Definition ist, dass das Zählen – das Inkrementieren – "herausgezogen" wird: Um beispielsweise zu 2$2$ 3$3$ dazuzuzählen, zählt man zuerst von der 0$0$ beginnend zur 2$2$, also zur S(S(0))$S\left(S\left(0\right)\right)$. Dann zählt man noch dreimal weiter: S(S(S(2))) = S(S(S(S(S(0))))) = 5$S\left(S\left(S\left(2\right)\right)\right)=S\left(S\left(S\left(S\left(S\left(0\right)\right)\right)\right)\right)=5$.

0.0.1.3.1.2 ↑ Subtraktion

Subtraktion kann man ebenfalls rekursiv definieren.

• Als Fall, der die Rekursion "bricht", nutzt man die Subtraktion von 0$0$: m - 0 := m$m-0:=m$

• Die Differenz des Nachfolgers einer Zahl m$m$ und des Nachfolgers einer Zahl n$n$ ist die Differenz von m$m$ und n$n$: S(m) - S(n) := m - n$S\left(m\right)-S\left(n\right):=m-n$

• Für alle anderen Fälle ist die Subtraktion nicht definiert.

Geschrieben als abschnittsweise Definition:

m - n := \begin{cases} {} m & \text{falls } n = 0 \\ {} m_{-1} - n_{-1} & \text{sonst, mit } m = S(m_{-1}) \text{ und } n = S(n_{-1}) \\ {} \text{undefiniert} & \text{sonst} \end{cases}$m-n:=\left\{\begin{array}{cc}m\hfill & \text{falls }n=0\hfill \\ m_{-1}-n_{-1}\hfill & \text{sonst, mit }m=S\left(m_{-1}\right)\text{ und }n=S\left(n_{-1}\right)\hfill \\ \text{undefiniert}\hfill & \text{sonst}\hfill \end{array}\right.$

Die Idee hinter dem Rekursionsschritt ist, dass Differenz "relativ" ist:

5 - 3 = S(4) - S(2) = 4 - 2 = S(3) - S(1) = 3 - 1 = S(2) - S(0) = 2 - 0 = 2$5-3=S\left(4\right)-S\left(2\right)=4-2=S\left(3\right)-S\left(1\right)=3-1=S\left(2\right)-S\left(0\right)=2-0=2$

0.0.1.3.1.3 ↑ Multiplikation

Multiplikation kann ebenfalls rekursiv definiert werden.

Als Rekursionsanfang dient die Multiplikation mit 0$0$:

n \cdot 0 := 0$n\cdot 0:=0$

Der Rekursionsschritt kann man so herleiten, wie auch Multiplikation in der Grundschule [hier Referenz anführen] beigebracht wird:

n \cdot m = \underbrace{n + n + \cdots + n + n}_{m \text{ Mal}}$n\cdot m=\underset{m\text{ Mal}}{\underbrace{n+n+\cdots +n+n}}$

Oder, rekursiv formuliert:

n \cdot S(m) = \underbrace{n + n + \cdots + n + n}_{S(m) \text{ Mal}} = \underbrace{n + n + \cdots + n + n}_{m \text{ Mal}} \mathop{+} n$n\cdot S\left(m\right)=\underset{S\left(m\right)\text{ Mal}}{\underbrace{n+n+\cdots +n+n}}=\underset{m\text{ Mal}}{\underbrace{n+n+\cdots +n+n}}+n$

Also:

n \cdot m := \begin{cases} {} 0 & \text{falls } m = 0 \\ {} n + n \cdot m_{-1} & \text{sonst, mit } m = S(m_{-1}) \end{cases}$n\cdot m:=\left\{\begin{array}{cc}0\hfill & \text{falls }m=0\hfill \\ n+n\cdot m_{-1}\hfill & \text{sonst, mit }m=S\left(m_{-1}\right)\hfill \end{array}\right.$

0.0.1.3.1.4 ↑ Division

Die letzte noch fehlende Grundrechenart [Thematik "Grund­re­chen­art" eingehen?] ist die Division.

Als Rekursionsanfang nutzen wir:

0 : n = 0$0:n=0$, falls n \neq 0$n\ne 0$.

Den Rekursionsschritt können wir wie folgt herleiten:

\frac{m}{n} = \frac{m + \left(n - n\right)}{n} = \frac{\left(m - n\right) + n}{n} = \frac{m - n}{n} + 1$\frac{m}{n}=\frac{m+\left(n-n\right)}{n}=\frac{\left(m-n\right)+n}{n}=\frac{m-n}{n}+1$

Also:

m : n := \begin{cases} {} \text{undefiniert} & \text{falls } n = 0 \\ {} 0 & \text{falls } m = 0 \text{ und } n \neq 0 \\ {} \left(m - n\right):n + 1 & \text{sonst} \end{cases}$m:n:=\left\{\begin{array}{cc}\text{undefiniert}\hfill & \text{falls }n=0\hfill \\ 0\hfill & \text{falls }m=0\text{ und }n\ne 0\hfill \\ \left(m-n\right):n+1\hfill & \text{sonst}\hfill \end{array}\right.$

["Korrektheit" der Definitionen; Herleitung der Definitionen nur als Stütze; kein Weg, Definitionen herzuleiten, da Definitionen Definitionen sind]

[Überprüfung der Definitionen, dass bspw. nirgendwo 0 = S(n)$0=S\left(n\right)$ steht etc.]

0.0.1.3.1.5 ↑ Vergleichsoperatoren

Noch nicht definiert haben wir die Vergleichsoperatoren. [Nur =$=$ und \neq$\ne$; dazu genauer eingehen, dass wir das nicht definieren müs­sen (Stichwort structural equality)]

Anstatt zu jedem der vier noch fehlenden Vergleichsoperatoren \leq$\le$, <$<$, >$>$, \geq$\ge$ zu versuchen, eine Definition zu finden, überlegen wir zuerst, ob man nicht einige Vergleichsoperatoren durch andere ausdrücken kann.

Das geht in der Tat. Üblicherweise nimmt man \leq$\le$ als Basis und leitet die anderen davon ab. [Referenz und Fußnote, dass man das auch bei den surrealen Zahlen so macht]

n > m$n>m$ ⇔ n \not\leq m$n\nleqq m$

n \geq m$n\ge m$ ⇔ n > m$n>m$ oder n = m$n=m$

n < m$n<m$ ⇔ n \leq m$n\le m$ und n \neq m$n\ne m$

Wir müssen also nur \leq$\le$ definieren. Dabei nutzen wir die Eigenschaften der Nachfolgerfunktion aus und nutzen wieder Rekursion. Wir definieren:

n \leq n$n\le n$

n \not\leq 0$n\nleqq 0$, falls n \neq 0$n\ne 0$

n \leq m$n\le m$ ⇔ n \leq m_{-1}$n\le m_{-1}$ mit m = S(m_{-1})$m=S\left(m_{-1}\right)$

Beispiel:

2 \leq 5 = S(4)$2\le 5=S\left(4\right)$ ⇔ 2 \leq 4 = S(3)$2\le 4=S\left(3\right)$ ⇔ 2 \leq 3 = S(2)$2\le 3=S\left(2\right)$ ⇔ 2 \leq 2$2\le 2$ ⇔ wahr

0.0.1.3.1.6 ↑ Natur des Anfangselements 0$0$ und der Nachfolgerfunktion S$S$

In den Definitionen der Grundrechenarten oben haben wir nirgends Anforderungen an die Struktur von 0$0$ und S$S$ gestellt. Das lässt verschiedene Realisationen zu.

Wir kennen das bereits vom abstrakten Vektorraum: Ein Vektor kann ein Tripel reeller Zahlen sein, oder im entarteten, ein-di­men­si­o­na­len Vektorraum, eine reelle Zahl selbst etc.

Eine Realisation wäre beispielsweise:

0 := \varnothing$0:=\varnothing$; 0$0$ ist die leere Menge.

S(M) := M \cup \left\{ x \right\}$S\left(M\right):=M\cup \left\{x\right\}$ mit einem eindeutig festgelegten x \not\in M$x\notin M$; zum Zählen fügt man ein Element der Menge hinzu.

Beispiel:

0 = \varnothing$0=\varnothing$

1 = S(0) = \left\{ \text{Apfel} \right\}$1=S\left(0\right)=\left\{\text{Apfel}\right\}$

2 = S(1) = \left\{ \text{Apfel}, \text{Birne} \right\}$2=S\left(1\right)=\left\{\text{Apfel},\text{Birne}\right\}$

3 = S(1) = \left\{ \text{Apfel}, \text{Birne}, \ldots \right\}$3=S\left(1\right)=\left\{\text{Apfel},\text{Birne},\dots \right\}$

Nimmt man für x$x$ in der Definition von S(M)$S\left(M\right)$ M$M$, erhält man:

0 := \varnothing$0:=\varnothing$

1 = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \left\{ 0 \right\}$1=0\cup \left\{0\right\}=\left\{0\right\}$

2 = 1 \cup \left\{ 1 \right\} = \left\{ 0, 1 \right\}$2=1\cup \left\{1\right\}=\left\{0,1\right\}$

3 = 2 \cup \left\{ 2 \right\} = \left\{ 0, 1, 2 \right\}$3=2\cup \left\{2\right\}=\left\{0,1,2\right\}$

Also:

S(M) := M \cup \left\{ M \right\}$S\left(M\right):=M\cup \left\{M\right\}$

In dieser Realisation kann \leq$\le$ auf \in$\in$ zurückgeführt werden: n \leq m$n\le m$ ⇔ n \in m$n\in m$ [Referenz]

Anderes Beispiel:

0 := \text{Nichts tun}$0:=\text{Nichts tun}$

1 = \text{Klopfen}$1=\text{Klopfen}$

2 = \text{Klopfen, dann erneut Klopfen}$2=\text{Klopfen, dann erneut Klopfen}$

Also:

S(n) := n \text{ dann Klopfen }$S\left(n\right):=n\text{ dann Klopfen }$

All diese Definitionen sind äquivalent, in dem Sinne, als dass zwischen jeder Menge der natürlichen Zahlen, die jeweils gebildet wird, zu jeder anderen ein Isomorphismus besteht.

Beispiel:

\text{Nichts tun} \mapsto \varnothing$\text{Nichts tun}\mapsto \varnothing$

\text{Klopfen} \mapsto \left\{ \varnothing \right\}$\text{Klopfen}\mapsto \left\{\varnothing \right\}$

\text{Klopfen, dann Klopfen} \mapsto \left\{ \varnothing, \left\{ \varnothing \right\} \right\}$\text{Klopfen, dann Klopfen}\mapsto \left\{\varnothing ,\left\{\varnothing \right\}\right\}$

etc.

[Notation n_{-1}$n_{-1}$; Erklärung, dass man "von rechts nach links" lesen muss]

0.0.1.4 ↑ Ganze Zahlen

• Verschiedene Ansätze zur Definition der ganzen Zahlen und der Operationen auf den ganzen Zahlen denkbar.

0.0.1.4.2 ↑ Ganze Zahlen als Verknüpfung der positiven Zahlen mit zwei Symbolen

\mathds{Q} := \mathds{N}^+ \times \left\{+,-\right\} \cup \left\{ 0 \right\}$\mathbb{\mathbb{Q}}:={\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}\times \left\{+,-\right\}\cup \left\{0\right\}$

• Dahinter steckt die Idee, dass man die ganzen Zahlen als Verknüpfung der natürlichen Zahlen mit zwei Symbolen ansieht. Zahlen mit dem Symbol +$+$ interpretiert man als positiv, Zahlen mit dem Symbol -$-$ als negativ.

• Diese Idee mag einem zuerst in den Sinn kommen, hat jedoch einige Probleme, wenn es darum geht, die Verknüpfungen auf den ganzen Zahlen zu definieren:

  Es sind viele Fallunterscheidungen notwendig. [Hier Beispiele anführen? Verweis auf Anhang?]

  [Verwendung der bereits definierten Verknüpfungen der na­tür­li­chen Zahlen]

0.0.1.4.3 ↑ Ganze Zahlen als Paare natürlicher Zahlen

\mathds{Q} = \mathds{N}_0 \times \mathds{N}_0$\mathbb{\mathbb{Q}}={\mathbb{\mathbb{N}}}_0\times {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$

• Hinter dieser Definition steckt die Idee, dass man eine ganze Zahl als Differenz zweier natürlicher Zahlen sieht.

  Beispiel: 5 = 8 - 3$5=8-3$, -3 = 0 - 3 = 1 - 4 = 2 - 5 = \cdots$-3=0-3=1-4=2-5=\cdots$

• Diese Definition lässt sehr elegante Definitionen der Ver­knüp­fun­gen zu. Dabei werden die Verknüpfungen über die natürlichen Zahlen benutzt.

  [Doppeldeutigkeiten! Bedeutet +$+$ die Addition auf den na­tür­li­chen oder den ganzen Zahlen? Unterscheidung durch Indizes, beispielsweise +_{\mathds{N}_0}${+}_{{\mathbb{\mathbb{N}}}_0}$ oder +_{\mathds{Z}}${+}_{\mathbb{\mathbb{Z}}}$]

• Eine ganze Zahl hat in dieser Definition keine eindeutige Darstellung (siehe obiges Beispiel; 5 = 8 - 3 = 9 - 4 = 10 - 5 = \cdots$5=8-3=9-4=10-5=\cdots$). Warum das ein Problem ist und wie man es lösen kann steht weiter unten.

0.0.1.4.3.7 ↑ Addition

Zur Herleitung der Additionsvorschrift betrachten wir zwei ganze Zahlen, (a,b)$\left(a,b\right)$ und (\alpha,\beta)$\left(\alpha ,\beta \right)$. Im Herleitungsprozess benutzen wir unser Wissen über äquivalente Termumformungen. [Hier auch wieder die Thematik mit der Korrektheit der Definitionen etc. anbringen. Auch nutzen wir in der Herleitung Verknüpfungen, die wir gar nicht vollständig definiert haben!]

(a,b) + (\alpha,\beta) = \left(a - b\right) + \left(\alpha - \beta\right) = a - b + \alpha - \beta = a + \alpha - b - \beta = \left(a + \alpha\right) - \left(b + \beta\right) = (a+\alpha,b+\beta)$\left(a,b\right)+\left(\alpha ,\beta \right)=\left(a-b\right)+\left(\alpha -\beta \right)=a-b+\alpha -\beta =a+\alpha -b-\beta =\left(a+\alpha \right)-\left(b+\beta \right)=\left(a+\alpha ,b+\beta \right)$

Kurz: (a,b) + (\alpha,\beta) := (a+\alpha,b+\beta)$\left(a,b\right)+\left(\alpha ,\beta \right):=\left(a+\alpha ,b+\beta \right)$

Diese Definition kommt ohne Fallunterscheidungen aus!

Beispiel: \underbrace{(2,3)}_{-1} + \underbrace{(9,14)}_{-5} = (2+9, 3+14) = \underbrace{(11,17)}_{-6}$\underset{-1}{\underbrace{\left(2,3\right)}}+\underset{-5}{\underbrace{\left(9,14\right)}}=\left(2+9,3+14\right)=\underset{-6}{\underbrace{\left(11,17\right)}}$

0.0.1.4.3.8 ↑ Subtraktion

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Subtraktion zu definieren: Einmal wie in der 7. Klasse über die Negation und einmal wie bei der Addition.

• Definition über die Negation

  Dazu müssen wir zunächst die Negation definieren. Dies gestaltet sich einfach:

  -(a,b) = -\left(a - b\right) = -a - \left(-b\right) = -a + b = b - a = (b,a)$-\left(a,b\right)=-\left(a-b\right)=-a-\left(-b\right)=-a+b=b-a=\left(b,a\right)$

  Kurz: -(a,b) := (b,a)$-\left(a,b\right):=\left(b,a\right)$

  Jetzt können wir die Subtraktion definieren:

  (a,b) - (\alpha,\beta) := (a,b) + \left[-(\alpha,\beta)\right] = (a,b) + (\beta,\alpha) = (a+\beta,b+\alpha)$\left(a,b\right)-\left(\alpha ,\beta \right):=\left(a,b\right)+\left[-\left(\alpha ,\beta \right)\right]=\left(a,b\right)+\left(\beta ,\alpha \right)=\left(a+\beta ,b+\alpha \right)$

• Definition über Herleitung wie bei der Addition

  (a,b) - (\alpha,\beta) = \left(a - b\right) - \left(\alpha - \beta\right) = a - b - \alpha + \beta = a + \beta - b - \alpha = \left(a + \beta\right) - \left(b + \alpha\right) = (a+\beta,b+\alpha)$\left(a,b\right)-\left(\alpha ,\beta \right)=\left(a-b\right)-\left(\alpha -\beta \right)=a-b-\alpha +\beta =a+\beta -b-\alpha =\left(a+\beta \right)-\left(b+\alpha \right)=\left(a+\beta ,b+\alpha \right)$

Es spielt also keine Rolle, welchen Weg man zur Herleitung hernimmt. [Bedeutung als nachträgliche Rechtfertigung, unser Wissen über Minusklammern, Kommutativität etc. auszunutzen]

Beispiel: \underbrace{(2,3)}_{-1} - \underbrace{(9,14)}_{-5} = (2+14, 3+9) = \underbrace{(16,12)}_{4}$\underset{-1}{\underbrace{\left(2,3\right)}}-\underset{-5}{\underbrace{\left(9,14\right)}}=\left(2+14,3+9\right)=\underset{4}{\underbrace{\left(16,12\right)}}$

[Bemerkung, dass diese Definitionen nicht rekursiv sind, und dass das gut ist, wegen der Zeitkomplexität etc.]

0.0.1.4.3.9 ↑ Multiplikation

(a,b) \cdot (\alpha,\beta) = \left(a - b\right) \cdot \left(\alpha - \beta\right) = a \alpha - a \beta - b \alpha + b \beta = \left(a \alpha + b \beta\right) - \left(a \beta + b \alpha\right) = (a\alpha + b\beta, a\beta + b\alpha)$\left(a,b\right)\cdot \left(\alpha ,\beta \right)=\left(a-b\right)\cdot \left(\alpha -\beta \right)=a\alpha -a\beta -b\alpha +b\beta =\left(a\alpha +b\beta \right)-\left(a\beta +b\alpha \right)=\left(a\alpha +b\beta ,a\beta +b\alpha \right)$

Beispiel: \underbrace{(2,3)}_{-1} \cdot \underbrace{(9,14)}_{-5} = (2\cdot9 + 3\cdot14, 2\cdot14 + 3\cdot9) = \underbrace{(60,55)}_{5}$\underset{-1}{\underbrace{\left(2,3\right)}}\cdot \underset{-5}{\underbrace{\left(9,14\right)}}=\left(2\cdot 9+3\cdot 14,2\cdot 14+3\cdot 9\right)=\underset{5}{\underbrace{\left(60,55\right)}}$

[Bemerkung, dass es nicht schlimm ist, dass die Zahlen größer werden; Bemerkung, dass, wenn es einen doch stört, man "kürzen" kann; Verweis auf Normalisierung weiter unten]

0.0.1.4.3.10 ↑ Division

Die Division kann leider nicht so einfach hergeleitet werden.

• Der Weg über die Herleitung wie bei Addition und Multiplikation schlägt fehlt:

  \frac{(a,b)}{(\alpha,\beta)} = \frac{a - b}{\alpha - \beta} = ?$\frac{\left(a,b\right)}{\left(\alpha ,\beta \right)}=\frac{a-b}{\alpha -\beta }=?$

• Der alternative Weg, Division als Multiplikation mit dem Kehrbruch zu definieren, schlägt ebenfalls fehl, da es nicht möglich ist, den Kehrbruch einer ganzen Zahl zu definieren:

  \frac{1}{z}$\frac{1}{z}$ ist, außer für z = \pm 1$z=\pm 1$ und z = 0$z=0$, keine ganze Zahl!

• Wir müssen daher die Division ein bisschen umständlich definieren:

  \frac{x}{y} = \frac{\left|x\right|}{\left|y\right|} \cdot \operatorname{sgn} x \cdot \operatorname{sgn} y$\frac{x}{y}=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}\cdot sgnx\cdot sgny$

  wobei wir mit \frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$ folgendes meinen:

  \frac{\left|x\right|}{\left|y\right|} = \left(\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}, 0\right)$\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left(\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|},0\right)$, wobei mit der Division auf der rechten Seite die bereits definierte Division über die natürlichen Zahlen gemeint ist. [XXX formal nicht so einfach, die \left|x\right|$\left|x\right|$ und \left|y\right|$\left|y\right|$ ganze Zahlen, nicht natürliche Zahlen sind. Aber einfacher Isomorphismus zwischen den nichtnegativen natürlichen Zahlen und den nichtnegativen ganzen Zahlen. Ähnlich wie \mathds{N} \subset \mathds{Z}$\mathbb{\mathbb{N}}\subset \mathbb{\mathbb{Z}}$. Kasten?]

• Es fehlen noch die Definitionen der Betragsfunktion \left|\cdot\right|$\left|\cdot \right|$ und der Signumfunktion \operatorname{sgn}$sgn$.

  Die Betragsfunktion können wir auf die Signumfunktion zu­rück­füh­ren: \left|x\right| := x \cdot \operatorname{sgn} x$\left|x\right|:=x\cdot sgnx$

  \operatorname{sgn}\, (a,b) := \begin{cases} {} -1 & \text{für } a < b \\ {} 0 & \text{für } a = b \\ {} 1 & \text{für } a > b \end{cases}$sgn\left(a,b\right):=\left\{\begin{array}{cc}-1\hfill & \text{fr }a<b\hfill \\ 0\hfill & \text{fr }a=b\hfill \\ 1\hfill & \text{fr }a>b\hfill \end{array}\right.$

  (Diese Definition bedient sich der Vergleichsoperatoren über die natürlichen Zahlen.)

0.0.1.4.3.11 ↑ Vergleichsoperatoren

• Gleichheit und Ungleichheit

  Anders als bei den natürlichen Zahlen sind bei unserer Definition der ganzen Zahlen die Definitionen der Gleichheit und Ungleichheit nicht sofort offensichtlich.

  Herleitung:

  (a,b) = a - b = \alpha - \beta = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=a-b=\alpha -\beta =\left(\alpha ,\beta \right)$

  Herüberbringen von b$b$ und \beta$\beta$ ermöglicht es, die Gleichheit auf den ganzen Zahlen auf die Gleichheit auf den natürlichen Zahlen zurückzuführen:

  a + \beta = \alpha + b$a+\beta =\alpha +b$

  Kurz: (a,b) = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=\left(\alpha ,\beta \right)$ ⇔ a + \beta = \alpha + b$a+\beta =\alpha +b$

• Kleinergleich

  Wie bei den natürlichen Zahlen wollen wir auch bei den ganzen Zahlen nicht jede der fehlenden Vergleichsoperatoren (<$<$, \leq$\le$, \geq$\ge$, >$>$) einzeln definieren, sondern nur \leq$\le$ erklären. Die anderen Vergleichsoperatoren ergeben sich dann daraus.

  Zur Herleitung erfolgt analog zur Definition der Gleichheit:

  (a,b) = a - b \leq \alpha - \beta = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=a-b\le \alpha -\beta =\left(\alpha ,\beta \right)$

  Herüberbringen von b$b$ und \beta$\beta$...

  a + \beta \leq \alpha + b$a+\beta \le \alpha +b$

  Kurz: (a,b) \leq (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)\le \left(\alpha ,\beta \right)$ ⇔ a + \beta \leq \alpha + b$a+\beta \le \alpha +b$

0.0.1.4.3.12 ↑ Eindeutigkeit der Repräsentation

Das Problem wurde schon kurz zu Beginn des Kapitels und bei der Definition der Gleichheit angerissen: Bei unser Definition der ganzen Zahlen ist die Repräsentation einer Zahl nicht eindeutig.

Das erklärt auch, wieso wir die Gleichheitsrelation definieren mussten.

[XXX noch mehr darauf eingehen, wieso das ein Problem ist]

Es gibt nun zwei klassische Wege, das Problem zu lösen.

• Normalisierung

  Beim Weg über die Normalisierung definiert man eine Normalisierungsfunktion, die einer beliebigen Repräsentation einer ganzen Zahl eine eindeutige Repräsentation zuweist.

  Eine Normalisierungsfunktion könnte beispielsweise sein:

  n{:}\, (a,b) \mapsto n(a,b) := \begin{cases} {} (a-b,0) & \text{für } a \geq b \\ {} (0,b-a) & \text{für } a < b \end{cases}$n:\left(a,b\right)\mapsto n\left(a,b\right):=\left\{\begin{array}{cc}\left(a-b,0\right)\hfill & \text{fr }a\ge b\hfill \\ \left(0,b-a\right)\hfill & \text{fr }a<b\hfill \end{array}\right.$

  Danach definiert man die Menge der ganzen Zahlen und die Verknüpfungen neu:

  \mathds{Z}' := \left\{ n(x) \,\middle|\, x \in \mathds{Z} \right\} \subset \mathds{Z}${\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }:=\left\{n\left(x\right)\mid x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\right\}\subset \mathbb{\mathbb{Z}}$

  x +_{\mathds{Z}'} y := n(x +_{\mathds{Z}} y)$x{+}_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}y:=n\left(x{+}_{\mathbb{\mathbb{Z}}}y\right)$

  x -_{\mathds{Z}'} y := n(x -_{\mathds{Z}} y)$x{-}_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}y:=n\left(x{-}_{\mathbb{\mathbb{Z}}}y\right)$

  x \cdot_{\mathds{Z}'} y := n(x \cdot_{\mathds{Z}} y)$x{\cdot }_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}y:=n\left(x{\cdot }_{\mathbb{\mathbb{Z}}}y\right)$

  etc.

  Nachteil an dieser Methode kann sein, dass sie dem per­sön­li­chen Geschmack nicht entspricht: Es sieht so aus, als ob die ursprünglichen Definitionen bzw. die Ideen hinter den Definitionen unzureichend sind und eine nachträgliche Anpassung benötigen.

• Äquivalenzklassen

  Ein alternativer Weg geht über Äquivalenzklassen. Die Idee ist, eine Zahl als die Menge aller Repräsentationen zu definieren, die äquivalent (=$=$) zur Zahl sind. Man schreibt \left[x\right]$\left[x\right]$, wenn man die Äquivalenzklasse meint.

  In Formeln: \left[x\right] = \left\{ r \in \mathds{Z} \,\middle|\, r = x \right\}$\left[x\right]=\left\{r\in \mathbb{\mathbb{Z}}\mid r=x\right\}$

  Beispiel: \left[(3,0)\right] = \left\{ (3,0), (4,1), (5,2), \ldots \right\}$\left[\left(3,0\right)\right]=\left\{\left(3,0\right),\left(4,1\right),\left(5,2\right),\dots \right\}$

  Diese Mengen sind unendlich groß; das ist aber kein Problem, da man zum Rechnen nur ein einziges Element benötigt.

  Die Menge der ganzen Zahlen definiert man dann auf:

  \mathds{Z}' := \left\{ \left[x\right] \,\middle|\, x \in \mathds{Z} \right\}${\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }:=\left\{\left[x\right]\mid x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\right\}$

  Auch muss man die Verknüpfungen anpassen:

  \left[x\right] +_{\mathds{Z}'} \left[y\right] := \left[x +_{\mathds{Z}} y\right]$\left[x\right]{+}_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}\left[y\right]:=\left[x{+}_{\mathbb{\mathbb{Z}}}y\right]$ etc.

  Der Einfachheit wegen kann man zusätzlich noch die Zahlensymbole neu definieren:

  0_{\mathds{Z'}} := \left[0_{\mathds{Z}}\right]$0_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}:=\left[0_{\mathbb{\mathbb{Z}}}\right]$

  1_{\mathds{Z'}} := \left[1_{\mathds{Z}}\right]$1_{{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{\prime }}:=\left[1_{\mathbb{\mathbb{Z}}}\right]$ etc.

[Äquivalenzklassen auch bei den Brüchen und surreallen Zahlen]

[Äquivalenzklassen auch im Alltag; beispielsweise die Zahl 3$3$ als Menge aller Mengen mit drei Elementen]

0.0.1.5 ↑ Rationale Zahlen

Zur Definition der rationalen Zahlen werden wir ähnlich verfahren wie bei der Definition der ganzen Zahlen als Paare zweier na­tür­li­cher Zahlen.

Dieser Ansatz ist bei den rationalen Zahlen über die Repräsentation über die Bruchschreibweise offensichtlich.

Also: \mathds{Q} := \mathds{Z} \times \left(\mathds{Z} \setminus \left\{ 0 \right\}\right)$\mathbb{\mathbb{Q}}:=\mathbb{\mathbb{Z}}\times \left(\mathbb{\mathbb{Z}}\setminus \left\{0\right\}\right)$

Beispiel: -2{,}5 = \frac{-5}{2} = \left(-5,2\right) = \left(\left(0,5\right),\left(2,0\right)\right)$-2,5=\frac{-5}{2}=\left(-5,2\right)=\left(\left(0,5\right),\left(2,0\right)\right)$

Anders als bei der Definition der ganzen Zahlen müssen wir hier eine Einschränkung treffen – Null darf nicht im Nenner stehen.

Die Repräsentation ist wie bei den ganzen Zahlen nicht eindeutig: In \mathds{Q}$\mathbb{\mathbb{Q}}$ kommen ungekürzte Brüche vor und negative gekürzte Brüche haben jeweils zwei Repräsentationen, (-a,b)$\left(-a,b\right)$ und (a,-b)$\left(a,-b\right)$. Zur Lösung werden wir Äquivalenzklassen einsetzen.

Die Definition der Rechenoperatoren übernehmen wir von der Ein­füh­rung in der 6. Klasse.

0.0.1.5.4 ↑ Addition

Herleitung über Bildung des Hauptnenners:

(a,b) + (\alpha,\beta) = \frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a\beta}{b\beta} + \frac{\alpha b}{b\beta} = \frac{a\beta + \alpha b}{b \beta} = (a\beta + \alpha b, b \beta)$\left(a,b\right)+\left(\alpha ,\beta \right)=\frac{a}{b}+\frac{\alpha }{\beta }=\frac{a\beta }{b\beta }+\frac{\alpha b}{b\beta }=\frac{a\beta +\alpha b}{b\beta }=\left(a\beta +\alpha b,b\beta \right)$

Die Addition über den rationalen Zahlen führen wir also auf die Addition über den ganzen Zahlen zurück, die ihrerseits auf die Addition über den natürlichen Zahlen zurückführt. [Bemerkung irgendwo, dass es keine Rolle spielt, welche Repräsentation der natürlichen Zahlen zugrundeliegt.]

0.0.1.5.5 ↑ Subtraktion

Herleitung über Negation:

(a,b) - (\alpha,\beta) = (a,b) + \left[-(\alpha,\beta)\right] = (a,b) + (-\alpha,\beta) = (a\beta - \alpha b, b \beta)$\left(a,b\right)-\left(\alpha ,\beta \right)=\left(a,b\right)+\left[-\left(\alpha ,\beta \right)\right]=\left(a,b\right)+\left(-\alpha ,\beta \right)=\left(a\beta -\alpha b,b\beta \right)$

Alternativ:

(a,b) - (\alpha,\beta) = (a,b) + \left[-(\alpha,\beta)\right] = (a,b) + (\alpha,-\beta) = (-a\beta + \alpha b, -b \beta)$\left(a,b\right)-\left(\alpha ,\beta \right)=\left(a,b\right)+\left[-\left(\alpha ,\beta \right)\right]=\left(a,b\right)+\left(\alpha ,-\beta \right)=\left(-a\beta +\alpha b,-b\beta \right)$

Die beiden Definitionen sind äquivalent, was Ausklammern von \left(-1\right)$\left(-1\right)$ im Zähler und Kürzen mit \left(-1\right)$\left(-1\right)$ bestätigt.

0.0.1.5.6 ↑ Multiplikation

(a,b) \cdot (\alpha,\beta) = \frac{a}{b} \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a \alpha}{b \beta} = (a\alpha, b\beta)$\left(a,b\right)\cdot \left(\alpha ,\beta \right)=\frac{a}{b}\frac{\alpha }{\beta }=\frac{a\alpha }{b\beta }=\left(a\alpha ,b\beta \right)$

Es zeigt sich eine beeindruckende Symmetrie zur Definition der Addition bei den ganzen Zahlen: Vertauscht man \cdot$\cdot$ durch +$+$, erhält man die Definition der Addition über die ganzen Zahlen! [XXX wieso?]

0.0.1.5.7 ↑ Division

Herleitung über das Inverse:

\dfrac{1}{(a,b)} = \dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} = (b,a)$\frac{1}{\left(a,b\right)}=\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}=\left(b,a\right)$

(a,b) : (\alpha,\beta) = (a,b) \cdot (\beta,\alpha) = (a\beta, b\alpha)$\left(a,b\right):\left(\alpha ,\beta \right)=\left(a,b\right)\cdot \left(\beta ,\alpha \right)=\left(a\beta ,b\alpha \right)$

[XXX wieder beeindruckende Symmetrie]

0.0.1.5.8 ↑ Vergleichsoperatoren

0.0.1.5.8.13 ↑ Gleichheit

(a,b) = \frac{a}{b} = \frac{\alpha}{\beta} = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=\frac{a}{b}=\frac{\alpha }{\beta }=\left(\alpha ,\beta \right)$

Herüberbringen von b$b$ und \beta$\beta$ bringt:

a \beta = \alpha b$a\beta =\alpha b$

Kurz: (a,b) = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=\left(\alpha ,\beta \right)$ ⇔ a \beta = b \alpha$a\beta =b\alpha$

0.0.1.5.8.14 ↑ Kleinergleich

(a,b) = \frac{a}{b} < \frac{\alpha}{\beta} = (\alpha,\beta)$\left(a,b\right)=\frac{a}{b}<\frac{\alpha }{\beta }=\left(\alpha ,\beta \right)$ ⇔

a \beta < b \alpha$a\beta <b\alpha$, falls b \beta > 0$b\beta >0$

a \beta > b \alpha$a\beta >b\alpha$, falls b \beta < 0$b\beta <0$

(Der Fall b \beta = 0$b\beta =0$ kann nicht auftreten, da b, \beta \neq 0$b,\beta \ne 0$.)